Продольные и поперечные деформации и перемещения. 
Закон Гука

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной I, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 9.4).

Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину АI, которая называется полным (или абсолютным) удлинением (абсолютной продольной деформацией).

Рис. 9.4. Деформация бруса при центральном растяжении.

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние и, следовательно, линейные деформации г_х для всех его точек одинаковы. Поэтому значение е_х можно определить как отношение абсолютного удлинения AZ к первоначальной длине бруса I, т. е. г_х = А1/1. Линейную деформацию е_х при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением (или относительной продольной деформацией) и обозначают в.

Следовательно,.

Относительная продольная деформация выражается в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной, а деформацию сжатия — отрицательной.

Чем больше сила, растягивающая брус, тем больше при прочих равных условиях удлинение бруса, чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

где N — продольная сила в поперечных сечениях бруса; А — площадь поперечного сечения бруса; Е — коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, а = N/A, получаем.

откуда.

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой.

т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе (при постоянных N и ЕА).

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.). Формулы (9.5)—(9.9) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении и сжатии бруса. Более общей является следующая формулировка закона Гука; относительная продольная деформация прямо пропорциопальна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах учебной дисциплины.

Величина Е называется модулем упругости первого рода (сокращенно — модулем упругости). Это физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше при прочих равных условиях продольная деформация. Из формулы (9.9) видно, что модуль упругости выражается в тех же единицах, что и напряжение, т. е. в Паскалях (Па).

Произведение ЕЛ называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Формулой (9.9) можно пользоваться для вычисления абсолютной продольной деформации участка бруса длиной I лишь при условии, что сечение бруса в пределах этого участка постоянно и продольная сила N во всех поперечных сечениях одинакова.

Кроме продольной деформации при действии на брус сжимающей или растягивающей силы наблюдается также поперечная деформация. При сжатии бруса поперечные размеры его увеличиваются, а при растяжении — уменьшаются. Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить Ь, а после приложения этих сил Ъ + ДЬ (рис. 9,5), то величина ДЬ будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса.

Отношение е' =— является относительной поперечной деформацией. ^.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформация г' прямо пропорциональна относительной продольной деформации в, но имеет обратный знак:

Коэффициент пропорциональности ц в формуле (9.10) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации (или коэффициентом Пуассона) и представляет собой отношение относительной поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т. е.

Коэффициент Пуассона ц наряду с модулем упругости Е характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов он имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25—0,30; для ряда других металлов (цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36. Ориентировочные значения коэффициента Пуассона для различных материалов приведены в специальной литературе.

Рис. 9.5. Поперечные деформации сжатого бруса.