Дифференциальное уравнение неразрывност или сплошности течения
В частном случае, если движение жидкости является потенциальным: Из выражений (13.22) и (13.23) получим, сократив их на величину dtd.xd.ydz'. В частном случае установившегося течения несжимаемой жидкости. Тогда приращение массы жидкости (1тх в параллелепипеде будет. Рис. 135. К выводу дифференциального уравнения неразрывности. Уравнение (13.28) приводится к виду В или в краткой записи: Для… Читать ещё >
Дифференциальное уравнение неразрывност или сплошности течения (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Ранее мы определили условия, при которых установившийся поток жидкости будет двигаться без разрывов и пустот (4.30). Определим условия такого течения в общем слу;
Рис. 135. К выводу дифференциального уравнения неразрывности.
чае. Для этого выделим в пространстве движущейся жидкости неподвижный бесконечно малый параллелепипед с гранями, параллельными координатным плоскостям, и ребрами длиной (1.г, (1у, (к (рис. 13.5).
За время Л через грань АВСП внутрь параллелепипеда втекает масса жидкости с1т' = рихс1у (к (к, а через гран А’В’С’Г)' вытекает с1т" = ри'хку (к (к.
В общем случае р ^ р' и их ^ и'х. Так как от грани ЛВС!) до грани А’В’С’О изменяется только координатах, а рассматриваемый момент времени один и тот же, можем записать.
тогда приращение массы жидкости (1тх в параллелепипеде будет.
Аналогично определим приращение массы жидкости в результате движения жидкости через другие параллельные грани:
Суммарное приращение массы внутри рассматриваемого параллелепипеда будет 
но такое приращение массы можно выразить и через изменение плотности жидкости, которое должно произойти, так как объем параллелепипеда постоянен:
тогда 
Из выражений (13.22) и (13.23) получим, сократив их на величину dtd.xd.ydz'. 
Выражение (13.24) и отражает условие сплошности течения в дифференциальной форме в общем виде.
В частном случае установившегося течения несжимаемой жидкости.
тогда из уравнения (13.24) получим.
Преобразуем уравнение (13.24), записав.
Подставим выражения (13.26) в уравнение (13.24) и проведем перегруппировку слагаемых: 
Умножим это выражение на (к
Первые четыре члена этого выражения отражают полный дифференциал кр функции р = /(х, у, г, /:). Введя соответствующее обозначение и разделив полученное выражение на рек, получим.
Для несжимаемой жидкости это уравнение принимает вид 
Выражения (13.27) или (13.28) называют уравнением неразрывности в дифференциальной форме.
В частном случае, если движение жидкости является потенциальным:
уравнение (13.28) приводится к виду 
В или в краткой записи:
Дф = 0, (13.30).
где 
— оператор Лапласа.
Уравнения (13.29), (13.30) называются уравнением Лапласа.