Метод Лагранжа. 
Дифференциальные уравнения I и II порядка

Уравнение Лагранжа Дифференциальное уравнение вида.

где ц (y') и ш (y')? известные функции, дифференцируемые на некотором интервале, называется уравнением Лагранжа. Полагая y' = p и дифференцируя по переменной x, получаем общее решение уравнения в параметрической форме:

при условии, что.

где p? параметр.

Уравнение Лагранжа может также иметь особое решение, если нарушается условие ц (p)? p? 0. Особое решение определяется функцией где c? корень уравнения ц (p)? p = 0.

Уравнения Лагранжа второго рода.

Рассмотрим механическую систему, имеющую s степеней свободы, на которую наложены стационарные, идеальные, голономные связи.

В этом случае положение системы определяется s обобщенными координатами q₁, q₂,…q_s. Кинетическая энергия такой системы является функцией обобщенных координат q₁, q₂,…q_s, обобщенных скоростей.

и времени.

Для такой системы можно записать уравнений, которые называются уравнениями Лагранжа второго рода или дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах:

где Qj — обобщенная сила.

Уравнения Лагранжа второго рода могут быть обобщены на случай связей, осуществляемых с трением, хотя они и не являются идеальными. Для этого следует силу трения перенести из группы сил реакции в группу активных сил, тогда связь с трением можно формально считать идеальной.

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q₁, q₂,…q_s. Дважды интегрируя эти уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получим систему уравнений движения в обобщенных координатах:

q_i = q_i(t), j ч s .