Динамическая модель Леонтьева

Напомним, что в п. 5.2.3 была рассмотрена продуктивная модель межотраслевого баланса безотносительно ко времени, т. е. все ее компоненты полагались средними за некоторый временной интервал и «одномоментными*. В реальности продукт, предназначенный для внутреннего и конечного потребления в период времени /, определяет не текущий выпуск, а выпуск в последующий период /+ 1. Эта задержка производства обусловлена многими факторами, в частности, инерцией планирования и перенастройки, мобилизацией внутренних ресурсов и изменением транспорта сырья.

Соответственно система уравнений баланса в предположении о постоянстве доли внутреннего потребления каждой отраслью будет иметь следующий вид:

Соотношения (21.33) представляют собой систему линейных разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами а~.

Как и прежде, введем вектор валового выпуска *(/), матрицу прямых затрат А = ||^.|| и вектор конечного потребления y (t). Тогда систему (21.33) можно переписать в матричной форме:

Теперь задача формулируется следующим образом: при заданном векторе конечного потребления ;>(/) и матрице прямых затрат А определить динамику (изменение во времени) вектора валового выпуска л*(/).

Одной из основных задач прогноза с использованием динамической модели Леонтьева является такая: известны динамика вектора конечного потребления y (t) и вектор валового выпуска х₀ в начальный момент времени / = 0; требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени / > 1. Эта задача решается при помощи формулы (21.23):

Пример 8. Обратимся к данным табл. 5.3 (см. пример 5 в п. 5.2.3). Пусть известны продуктивная матрица затрат А, а также заданные в момент времени / = 0 векторы валового выпуска х (0) и >>(0), указанные в этой таблице:

Требуется рассчитать вектор валового выпуска на момент времени / = 2, если все компоненты вектора конечного потребления у увеличиваются на 30% за каждый период времени.

Решение. Вектор конечного потосбления. согласно условию задачи, имеет вид: Применяя формулу (21.35), получаем:

Теперь нужно вычислить матрицу А² изменения состояния и вектор >(1) и подставить их в это уравнение. Выполнив указанные действия, получим решение поставленной задачи:

Таким образом, при указанном темпе роста продукта конечного потребления необходимо через два временных цикла увеличить компоненты валового выпуска соответственно на 12, 18 и 6% по сравнению с исходными величинами на начальный момент времени.

Упражнения

• 21.1. Найти общие решения однородных разностных уравнений:
  • а) y (i + 2) — 9y{i + 1) + 20y (i) = 0;
  • б) 3y (i + 2) — y (i + 1) — 2y (i) = 0;
  • в) y (i + 4) — 2y (i + l)-8y (/) = 0.
• 21.2. Найти общие решения неоднородных разностных уравнений:
  • а) y (i + 2) — 6y (i + 1) + Sy (i) = 5;
  • б) 2y (i + 2) — y (i + 1) — 6y (i) = 25;
  • в) y (i + 2) — 2y (i + 1) — 8у (/) = 18 • 2'.
• 21.3. Найти решение задачи Коши для уравнений из упражнения 21.1с граничными условиями, заданными соответственно для п. «а», «б* и «в*: а) Д'(О) = 0, У (1) = 1;
• 6М0) — 2,у () = 3;

*) У (0) - 0, у () ш 1, у (2) = 1, у (3) = 3.

• 21.4. Найти решение краевой задачи для неоднородных уравнений из упражнения 21.2, п. «а* и «б» с граничными условиями, заданными соответственно для этих пунктов:
  • а)^(0) = 0, y (N) = 1;
• 6Ж0) = 1, У (Л0 = 6.
• 21.5. Дана матрица коэффициентов прямых затрат

Найти вектор валового выпуска на момент времени / = 4 при следующих условиях увеличения компонент вектора конечного потребления: соответственно на 10, 20 и 30% за каждый период времени.

<