Первый признак сравнения (признак абсолютной сходимости)

Сформулируем простейший признак сравнения для интеграла первого рода.

Теорема 4.15 (первый признак сравнения, или признак абсолютной сходимости^[1][2]). Пусть при любом х>а выполняется неравен-

+оо.

ство |/(х)| < F (х). Тогда если интеграл j F (x)dx сходится, то интеграл

а

+оо.

J f (x)dx таклсе сходится, причем абсолютно.

а

Доказательство. Применив теорему сравнения к функциям |/(х)| и.

— н".

F (x), получим сходимость интеграла J |/(x)|dx.

а

Замечание 4.18. Первый признак сравнения относится к достаточным признакам и поэтому не дает ответа на вопрос о сходимости интеграла в тех случаях, когда его условия не выполняются.

Исследовать сходимость интегралов:

_, cos (x³) 1 1.

Решение, а) Так как при х>1 имеем-^[3][4], а интеграл.

(l + х⁵) (l + х⁵) х¹⁰

Гек ,.

J —— сходится, то по первому признаку сравнения интеграл сходится (в том.

1 ^х

числе абсолютно).

arctg/x л/2 п*7 dx

б) Так как при х >2 верно-у-— -уТ>^а интеграл — J —уу сходится, то.

*/2 х/2^[5][6] 2 Х/2

по первому признаку сравнения интеграл сходится (в том числе абсолютно).

Доказательство. 1) Из существования предела, равного к, следует.

1 3.

/(x) = g (x)(/c + o (l)) при х—э+°°, а стало быть, —/cg (x)</(x)<�—/cg (x) для всех достаточно больших х > b (так как при достаточно больших значениях х, очевидно, справедлива оценка |о (1)|<�—). В силу теоремы.

+00.

сравнения для интегралов 1-го рода сходимость интеграла J g (x)dx

ь

+оо +оо влечет сходимость интеграла J /(x)dx, а значит, и интеграла J /(x)dx.

Ь а

+оо Обратно, в силу той же теоремы сходимость интеграла J f (x)dx влечет.

а

+00.

сходимость интеграла J g (x)dx.

а

2) Из существования предела к отношения функций следует Дх) = = g (x)o (l) при х —"+оо, а стало быть, /(х) Ъ. Тогда в силу теоремы сравнения сходимость интеграла.

+оо +оо.

J g (x)dx влечет сходимость интеграла J f (x)dx, а значит, и интеграла.

ь ь

J f (x)dx.

а

3) Из условия к = +°° следует, что g (x) = /(х)о (1) при х —> +°°, а стало быть, Дх) > g (x) для всех достаточно больших х > Ь. Но тогда в силу тео;

+оо ремы сравнения расходимость интеграла J g (x)dx влечет расходимость интеграла J f (x)dx, а значит, и интеграла J f (x)dx. Теорема доказана.

Ь а

Пусть теперь требуется выяснить сходимость (расходимость) несоб;

ь

ственного интеграла 2-го рода J/(x)dx, где положительная подын;

а

тегральная функция / неограниченна в левой окрестности точки х = Ь. Сравним скорости роста при х—>Ь-е подынтегральной функции и некоторой функции g, сходимость (расходимость) интеграла от которой известна (легко устанавливается). В зависимости от этого делается вывод о сходимости интеграла от функции/.

Теорема 4.17 (второй признак сравнения для интегралов 2-го рода). Пусть функция f положительна и существует предел (конечный или f (х).

бесконечный) lim; {-к. Тогда справедливы следующие утверждения: х->Ь-0 g (x).

ь ь

1) если 0<�к<+°°, то интегралы J/(x)dx и Jg (x)dx сходятся и рас-

а а

ходятся одновременно;

b

2) если k = 0, то из сходимости интеграла Jg (x)dx следует сходи-

а

b

мость jf (x)cbc,

а

Ь

3) если к-+°°, то из расходимости интеграла jg (x)dx следует рас-

а

Ъ

ходимость J f (x)dx.

а

Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 4.16.

Исследовать сходимость интегралов:

Решение. Исследуем сходимость интегралов в окрестности осоОой точки.

а) Рассмотрим предел.

⁺«dr.

Согласно второму признаку сравнения из расходимости интеграла —.

1 х

следует расходимость данного интеграла.

б) Рассмотрим предел.

/ ?;

Согласно второму признаку сравнения из сходимости интеграла

следует сходимость данного интеграла.

в) Сравним скорости роста в малой окрестности точки х = 0 подынтегральной функции и бесконечно большой функции — (к > 0):

х^к

1 оо При — к < 0 имеем неопределенность вида —, для раскрытия которой вос;

2 оо пользуемся правилом Лопиталя:

Очевидно, что при к этот предел равен нулю. Получили, что порядок роста при х —> +0 подынтегральной функции ниже, чем порядок роста бесконечно большой функции —, интеграл от которой сходится при к < 1, т. е. если х^к

взять любое /с, такое что к < 1, то по второму признаку сравнения исходный интеграл сходится, г) Представим.

Так как интеграл je~^x2x^l0dx сходится (как собственный), то интегралы о.

+оо +оо.

J e~^x2x^l0dx и J e~^x2x^l0dx сходятся и расходятся одновременно. Исследуем схоо 1.

?-х²д-10 _е-х²

димость второго интеграла. Поскольку Пт ——— = Пт, = 0, то согласно ЛГ—>+®о X² х—>+оо X¹²

второму признаку сравнения из сходимости интеграла I — следует сходи;

I *²

+оо мость интеграла j e~^x2x^u>dx, а значит, и исходного интеграла.

• [1] +СО +(c)о
• [2] Интеграл J /(x)dx сходится абсолютно, если сходится интеграл J |/(x)|dx. а а
• [3] 4.7.3. Второй признак сравнения Пусть требуется выяснить сходимость (расходимость) несобственного +оо интеграла j f (x)dx, где положительная подынтегральная функция/ а может иметь достаточно сложный вид. В некоторых случаях удаетсяподобрать другую (более простого вида) положительную функцию g, сходимость (расходимость) интеграла от которой известна, и сравнить скорости их убывания при х —> +°°. В зависимости от этого делается выводо сходимости интеграла от функции/. Теорема 4.16 (второй признак сравнения для интегралов 1-го рода). Пусть функции/и g определены и положительны на [а, + °°), и сущеfix) ствует предел (конечный или бесконечный) lim J; [ = k. Тогда справед- *^+~g (x) ливы следующие утверждения: +00 +оо
• [4] если 0 < к <+°°, то интегралы J f{x)cbcu J g{x)dx сходятся и раса, а ходятся одновременно; +оо
• [5] если к = 0, то из сходимости интеграла j g (x)dx следует сходиа +оо мостъ J f{x)dx; а +(c)о
• [6] если к = +°°, то из расходимости интеграла j g (x)dx следует раса +оо ходимость J f (x)dx.