Математическое ожидание дискретной случайной величины

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, так как позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа. Рассмотрим, например, задачу.

Задача. Известны законы распределения случайных величин X и У — числа очков, выбиваемых 1-м и 2-м стрелками.

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Рассматривая ряды распределения случайных величин X и У, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений. К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (X = 0; 1 и X = 9; 10), а у второго стрелка — промежуточные значения (У = 4; 5; 6) (см. многоугольники распределения вероятностей X и У на рис. 3.3).

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто всреднем выбивает большее количество очков.

Рис. 3.3.

Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание¹.

Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, М{Х) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности^[1][2]:

> Пример 3.5. Вычислить М (Х) и М (У) в задаче о стрелках.

Решение. По формуле (3.3)

т.е. среднее число выбиваемых очков у двух стрелков одинаковое. ?

[> Пример 3.6. Вычислить М (Х) для случайной величины X — чистого выигрыша по данным примера 3.1.

Решение. По формуле (3.3).

т.е. средний выигрыш равен нулю. Полученный результат означает, что вся выручка от продажи билетов лотереи идет на выигрыши. ?

Из приведенного определения следует, что математическое ожидание заключено между наименьшим и наибольшим значениями случайной величины.

(Действительно, , что вытекает из очевидного неравенства , ибо, учитывая равенство (3.1),.

и аналогично .).

Математическое ожидание рассматривают как характеристику положения случайной величины, ее центр распределения.

Последний термин связан с механической интерпретацией математического ожидания. Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой х₁ имеет массу, равную р_х (г = 1,.

2, п)_у а вся единичная масса распределена между этими точками, то математическое ожидание представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек. Так, для систем материальных точек, соответствующим распределениям X и У в примере 3.5, центры масс совпадают: М (Х) = М (У) = 5,36 (см. рис. 3.3).

Если дискретная случайная величина X принимает бесконечное у, но счетное множество значений х_{, х₂, х_п,…, то математическим ожиданием,.

или средним значением, такой дискретной случайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится):

Так как ряд (3.4) может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания. Например, случайная величина X с рядом распределения.

не имеет математического ожидания, ибо сумма ряда равна со.

На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс, и, значит, математическое ожидание существует.

Рассмотрим свойства математического ожидания.

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной'.

? Постоянную величину С можно рассматривать как вачичину, принимающую значение С с вероятностью 1. Поэтому М© = С • 1 = 1. ?

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожиданиЯу т. е.

? Т ак как случайная величина кХ принимает значения? г, (г = 1, 2,п), то ?

3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий, т. е.¹

• ? В соответствии с определением суммы и разности случайных величин
• (см. параграф 3.2) Х+ У (X — У) представляют случайную величину, которая принимает значения х_{ + У](х₁-у^ (г= 1, 2,…, = 1, 2,…, т) с вероятностями

^=Р[(Х = х₁)(У=г₆)].

Поэтому

Так как в первой двойной сумме х₁ не зависит от индекса у, но которому ведется суммирование во второй сумме, и аналогично во второй двойной сумме уу не зависит от индекса г, то

4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий^[3][4]:

• ? В соответствии с определением произведения случайных величин
• (см. параграф 3.2), ХУ представляет собой случайную величину, которая принимает значения ху_}{г = 1, 2, …, п ] = 1, 2, …, т) с вероятностямир_1}- = Р [(X=хд (7= г/_;)], причем в силу независимости X и У. Поэтому

5. Если все значения случайной величины увеличить {уменьшить) на постоянную С, то на эту же постоянную С увеличится {уменьшится) математическое ожидание этой случайной величины:

• ? Учи' гывая свойства 3 и 1 математического ожидания, получим
• ?

6. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

• ? Пусть постоянная С есть математическое ожидание¹ а = М (Х), т. е. С = а. Тогда, используя свойство 5, получим
• ?

О Пример 3.7. Найти математическое ожидание случайной величины Z = = 8Х — 5У + 7, если известно, что М (Х) = 3, М (У) = 2.

Решение. Используя свойства 1, 2, 3 математического ожидания, найдем.

• [1] Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодомвозникновения теории вероятностей, когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иначе, математическое ожидание выигрыша.
• [2] Для математического ожидания случайной величины X в литературе также используются обозначения Е (Х), X.
• [3] Записываем свойство для двух случайных величин.
• [4] Записываем свойство для двух случайных величин; случай зависимых случайныхвеличин рассматривается в параграфе 5.6 — см. формулу (5.40).