Параметры СМО. 
Моделирование работы систем массового обслуживания с ожиданием и очередями с ограниченной длиной

Общие положения

Системой массового обслуживания называется система, процесс функционирования которой является, по сути, процессом обслуживания, который состоит в предоставлении той или иной услуги, определяемой из функционального назначения системы. Объект обслуживания в СМО называется требованием или заявкой. Общепринятое графическое представление простейшей СМО имеет вид (рис.1):

Рис. 1 Вид СМО

Процесс функционирования СМО включает в общем случае следующие этапы:

приход (поступление) требования;

ожидание (при необходимости) в очереди;

обслуживание в приборе;

уход требования из системы.

Изучение любой системы, в том числе и СМО, предполагает ее формализацию (описание), т. е. определение параметров системы, необходимых и достаточных для анализа характеристик ее функционирования.

Для формализации любой СМО необходимо описать:

процесс поступления заявок в систему;

процесс обслуживания заявок в системе;

дисциплину обслуживания.

Процесс поступления заявок

Прежде чем описать процесс поступления заявок (Рис. 2) приведем необходимые обозначения и определения.

Пусть t₁, t₂, t₃, t_k, — моменты поступления в систему 1-го, 2-го, 3-го, … k-го, требований:

Рис. 2. Процесс поступления заявок.

Обозначим через.

t_k = t_k — t_k-1

промежуток времени между моментами прихода (k-1)-го и k-го требований, который называется интервалом прихода k-го требования (k = 1, 2, 3, …).

Если интервалы прихода всех заявок являются постоянными, т. е.

— const, то такой поток называется детерминированным или регулярным. Однако, как правило, интервалы прихода k являются случайными величинами, и соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным. Очевидно, что регулярный поток является частным случаем случайного потока.

Для описания стохастического потока (стохастического процесса поступления) заявок необходимо задать функцию распределения случайного в общем случае интервала прихода для каждой заявки:

(1).

Поток заявок, для которого функции распределения интервалов прихода всех заявок одинаковы, т. е. называется рекуррентным.

(2).

Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода всех заявок распределены по одному и тому же закону.

Важная характеристика любого потока — это его интенсивность, которая обозначается через (t) и определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если интенсивность поступления (t) не зависит от времени, т. е. (t), то такой поток называется стационарным.

Величина, обратная интенсивности (а=1/), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.

Если в каждый момент времени t₁, t₂, t₃, … поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае — групповым (могут приходить одновременно две или более заявок). В дальнейшем рассматриваются только рекуррентные, стационарные и ординарные потоки.

Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга или другими словами момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда пришла последняя заявка и от того, сколько их пришло.

При анализе СМО важное место занимает так называемый простейший поток. Простейшим называется поток, в котором интервалы поступления заявок распределены по экспоненциальному закону:

Очевидно, что параметр данного экспоненциального распределения является интенсивностью соответствующего простейшего потока.

Простейший поток является потоком рекуррентным стационарным ординарным и без последействия и, наоборот, любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия является простейшим.

Простейший поток обладает следующими свойствами.

• 1. Сумма (слияние) двух или более простейших потоков образует простейший поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей составляющих его простейших потоков.
• 2. Если из простейшего потока интенсивности исключить каждую заявку с вероятностью р (а с вероятностью 1-р оставить), то как поток исключенных, так и поток оставшихся заявок, окажутся простейшими с интенсивностями р и (1-р) соответственно (Рис. 3):

Рис. 3 Интенсивность потока

3. Число заявок N (t) простейшего потока, поступающих в СМО за время t, будучи случайной целочисленной дискретной величиной, распределено по закону Пуассона:

(4).

Поэтому очень часто простейший поток называют стационарным Пуассоновским потоком. Такое же выражение было получено и для простейшего процесса чистого размножения, что позволяет утверждать: процесс чистого размножения является адекватной моделью простейшего потока.

Таким образом, для описания рекуррентного, стационарного и ординарного процесса поступления заявок необходимо в общем случае задать функцию распределения интервалов их поступления. Однако не всегда бывает известной функция распределения. В таких случаях вместо неизвестной функции распределения для описания входного потока задаются интенсивность (или средний интервал а=1/) и коэффициент вариации (КВ) _а интервалов поступления, что оказывается достаточным для многих теоретических и практических приложений. Более того, в большинстве аналитических исследований в качестве входного потока заявок рассматривается простейший поток, ибо только в этом случае удается получать сколько-нибудь содержательные результаты анализа СМО. А для описания простейшего потока достаточно задать интенсивность, т.к. при этом КВ _а1 в силу экспоненциального характера распределения интервалов поступления заявок. Выделение используемых при анализе СМО потоков схематически представлено на рис. 4.

Рис. 4 Виды потоков.