Моделирование и прогноз параметров риска происшествий с помощью диаграмм типа «сеть»

Рассматриваемый в главе тип графических моделей является наиболее совершенным, так как позволяет прогнозировать не только вероятность наступления каких-либо техногенных происшествий, но и параметры требуемого для этого времени, а также учитывать практически все существенные для них факторы. Первая возможность демонстрируется на примере аналитической модели, полученной с помощью сравнительной простой сети, а вторая — с помощью имитационного моделирования происшествий при функционировании человекомашинной системы.

Принципы построения и системного анализа сетей стохастической структуры

При изложении основных принципов построения и анализа диаграмм причинно-следственных связей рассматриваемого типа логично руководствоваться теми начальными сведениями о них, которые были изложены ранее (см. параграф 9.3). Поэтому в данной главе продемонстрируем только возможности их использования (преимущественно — сетей стохастической структуры типа GERT) при аналитическом и имитационном моделировании процесса возникновения происшествий при функционировании человекомашинных систем.

Цель же такого моделирования будет состоять в прогнозе меры возможности и времени до появления техногенных происшествий.

Однако, учитывая сравнительно малую известность сетей GERT, вначале определимся с составом и содержанием используемых в них параметров. Ими обычно служат: а) вероятности реализации соответствующих дуг сети, б) затраты времени средств или других ресурсов аддитивной природы при переходе из ее узла в узел ; в) плотности вероятности распределения соответствующих издержек и г) условные производящие функции моментов этого же распределения. При этом под производящими функциями моментов подразумеваются аналитические зависимости, последовательное взятие производных от которых дает выражения для различных числовых характеристик соответствующей случайной величины. В частности, для дискретной случайной величины справедливо следующее математическое выражение этой функции:

(12 .1).

где - порядковый номер центрального момента случайной величины этого типа.

Из определения производящей функции следует, что центральные моменты и_н; соответствующего распределения могут быть найдены ее /с-кратным дифференцированием по S и присвоением в соответствующей производной этому параметру нулевого значения:

(12 .2).

Выражения для часто применяемых производящих функций моментов распределения случайных величин приведены в табл. В.6 в приложении.

Количественный анализ сетей GERT удобно осуществлять, объединяя два их параметра в одно образование

(12.3).

обладающее идентичными свойствами и уже характеризующее пропускную способность (проводимость) отдельной дуги или сети в целом.

Для определения вероятности наступления конкретного события сети и числовых характеристик требуемого для этого времени (математического ожидания его величины и дисперсии его оценки) проводят упрощение исходной сети GERT. Реализуется оно путем объединения последовательных, параллельных и замкнутых контуров данной причинно-следственной диаграммы в единственную ветвь с эквивалентной им проводимостью

а) для последовательно соединенных узлов г, j и к их совместная проводимость.

(12.4).

б) для параллельных ветвей 1−2 и 3−4, условно объединенных в один общий исток под номером и один общий сток , их эквивалентная проводимость.

(12.5).

в) для сочетания одной петли с включающей ее (собственной) дугой

(12

г) для петли т-го порядка, содержащей т непосредственно не связанных между собой циклов первого порядка, величина эквивалентного коэффициента пропускания равна.

(12.7).

Однако все эти правила справедливы лишь для замкнутых стохастических сетей, т. е. для таких, у которых существует обратная связь между каким-либо стоком и главным истоком. Это означает, что использование подобных правил требует предварительного искусственного замыкания разомкнутой сети GERT путем введения дополнительной дуги, коэффициент пропускания которой должен быть подобран специальным образом. Процедура подобной модификации исходной сети и определения значения ее проводимости основана на использовании топологического уравнения С. Мэсона (S. Mason'), которое имеет следующий вид [22, 24]:

(12.8).

где - сумма коэффициентов проводимости всех петель i-го порядка, которые имеются в модифицированной (искусственно замкнутой) сети GERT.

Общая же последовательность определения пропускной способности разомкнутой стохастической сети по формуле (12.8) включает следующие основные этапы:

• 1. Замыкание любого ее стока (исхода моделируемого процесса) с главным истоком (его начальным событием) дугой с коэффициентом проводимости
• 2. Упрощение полученной таким образом стохастической сети путем последовательного свертывания ее ветвей и расчет их по формулам (12.4), (12.5).
• 3. Выявление в замкнутой сети GERT всех петель и вычисление их эквивалентных проводимостей поформулам (12.6), (12.7).
• 4. Подстановка значений в топологическое уравнение (12.8) с учетом знаков всех слагаемых и разрешение его относительно искомой проводимости

Продемонстрируем работоспособность данной процедуры на примере прогнозирования не только вероятности Q (T) появления интересующего нас события, как это делалось до сих пор, но и таких числовых характеристик необходимого для этого времени, как математическое ожидание и дисперсия этой случайной оценки. Естественно, что значения всех искомых параметров будут зависеть от структуры сети и пропускной способности каждого из ее элементов, которая характеризуется или эквивалентной им функцией

Внутри прямоугольника, имеющегося на приведенном ниже рисунке 12.1, изображена уже известная по гл. 9 (см. рис. 9.5, а), но несколько видоизмененная сеть GERT. Данная ее модификация осуществлена в соответствии с рекомендациями первого пункта реализуемой здесь иллюстративной процедуры, о чем свидетельствует наличие в этой сети искусственно введенной обратной связи, а также присвоение соответствующих пропускных способностей не только ей — , но также всем другим дугам — и оригинальной сети в целом —

Определение неизвестного коэффициента осуществлено по правилу «а» (свертывания двух последовательно соединенных ветвей), давшему выражение , и его подстановки в формулу (12.8):

(12.9).

Решение этого уравнения позволило получить следующее значение для пропускной способности искусственно введенной обратной связи:

(12.10).

Изучение структуры сети, представленной на рис. 12.1, позволило выявить три петли, образуемые ветвями При этом характеризующий последнюю петлю эквивалентный коэффициент пропускания найден по прави лам «а», «б» и получился равным

Рис. 12.1. Модифицированная сеть типа GERT.

Считая все три петли петлями первого порядка (по определению) и раскрывая в топологическом уравнении (12.8) содержание первого вычитаемого, приходим к уравнению.

(12.11).

решение которого позволило получить аналитическое выражение для искомого здесь коэффициента пропускания исходной (разомкнутой) стохастической сети GERT:

(12.12).

Сравнение полученного выражения с формулой (11.6) и другими выведенными ранее зависимостями (11.11) и (11.22) подтверждает структурную идентичность всех этих аналитических моделей. Действительно, ведь их числители отражают пропускную способность одной дуги или ветви, эквивалентной нескольким (последовательно и параллельно соединенным) дугам, а знаменатели — увеличение пропускной способности дуги или всей сети положительными обратными связями. Выявленное качественное сходство подтвердило внутреннее единство всех тех диаграмм влияния типа «дерево», «граф» и «сеть», которые используются в данной работе в качестве основы для прогнозирования меры возможности проявления источников техногенного риска.

А вот о том, как это можно делать путем количественного анализа сетей GERT, интерпретирующих исследуемые здесь опасные процессы в техносфере, можно будет убедиться, ознакомившись с содержанием следующих параграфов данной главы.