Статические игры. 
Теория игр

Изучив материал данной главы, студенты должны: знать

• • понятие доминирования стратегии;
• • нижнюю и верхнюю цену антагонистической игры;
• • понятие седловой точки;
• • осторожные и смешанные стратегии;
• • основную теорему теории игр;
• • равновесие Нэша;
• • доминирование по Парето;
• • равновесие дрожащей руки; уметь
• • исключать строго доминируемые стратегии;
• • решать антагонистические матричные, биматричные, бесконечные игры;
• • находить равновесие Курно; владеть
• • навыками решения антагонистических игр с использованием MS Excel.

Доминирующие и недоминируемые стратегии

Рассмотрим игру N игроков в нормальной форме (Л^г, 5, u_vi = 1, .А'). Часто нам придется рассматривать стратегию одного игрока (г-го) при фиксированных стратегиях других игроков. Это приходится делать, например, в тех случаях, когда мы ведем рассуждения от лица г-го игрока. Для этого удобно воспользоваться следующими обозначениями:

При таких обозначениях s_, — е 5, означает профиль стратегий всех игроков, кроме г-го.

Определение 2.1. В игре в нормальной форме (N,5, и, г = 1, …, N) стратегия Sj игрока г доминирует стратегию г/, (обозначим это в виде .v, >; г/,), если

Стратегия s_; игрока i доминирует стратегию у" если независимо от стратегий всех остальных игроков (s_,) стратегия х, «не хуже» стратегии у_ь а кое-где (хотя бы в одном из случаев выбора стратегий остальными игроками s ,) лучше. Стратегия г/, называется доминируемой стратегией (или слабо доминируемой стратегией).

Определение 2.2. В игре в нормальной форме (N, 5_;, и, i = 1, …, N) стратегия Sj игрока i строго доминирует стратегию г/, (обозначим это в виде Sj У y_t или г/, — ), если

Стратегию г/, в этом случае назовем строго доминируемой стратегией. Каков бы ни был выбор всех остальных игроков (Vs_, — е 5выбор г-м игроком стратегии s, для него лучше, чем у_г

Очевидно, если стратегии выбираются независимо друг от друга, то игроку i невыгодно выбирать строго доминируемые стратегии.

Назовем стратегию недоминируемой, если ее не доминирует никакая другая стратегия.

Определение 2.3. Стратегия s, игрока i в игре в нормальной форме (N, S_jy Uj, i = 1,…, N) называется доминирующей стратегией, если.

Определение 2.4. Исход s = (s,;s₂; • .;y_v) игры называется равновесием в доминирующих стратегиях, если s, является доминирующей стратегией г-го игрока для всех I

Определение 2.5. Стратегии s_t и y_t г-го игрока называются эквивалентными, если.

Пример 2.1. Рассмотрим игру двух игроков с платежной матрицей.

Сравним стратегии первого игрока. Поскольку 3 > 2 и 1 > 0, вторая стратегия первого игрока строго доминирует первую (ЬУа). Какой бы выбор не сделал второй игрок, первому лучше играть Ь.

То же самое можно сказать и в отношении второго игрока (d ус).

Таким образом, профиль стратегий (b;d) является равновесием в этой игре. В то же время исход (а; с) был бы более предпочтителен сразу для обоих игроков. В случае заключения договора между игроками (соглашения о кооперации) выиграли бы одновременно оба игрока.

Замечание. Процедура исключения строго доминируемых стратегий может привести к рассмотрению биматричных игр меньшей размерности. При этом мы в конце концов придем к матрице, для которой не существует строго доминируемых стратегий для обоих игроков. Очередность исключения строго доминируемых стратегий не влияет на окончательный результат.

Этого нельзя сказать об исключении доминируемых стратегий. Поясним сказанное на примере.

Пример 2.2. Рассмотрим игру двух игроков с платежной матрицей.

Стратегия с первого игрока доминирует стратегию а. Если предположить, что игроки не будут выбирать доминируемые стратегии, то получим матрицу.

Далее исключаем доминируемую стратегию второго игрока (e>d). Получим матрицу

И наконец, исключаем стратегию b первого игрока:

Однако возможна и другая последовательность исключения доминируемых стратегий.

Сначала исключим вторую стратегию b первого игрока (с > Ь):

Теперь исключаем стратегию е второго игрока:

И наконец, исключаем стратегию а первого игрока:

Результат, как видим, зависит от очередности исключения доминируемых стратегий. Поэтому предположение о «рациональном» поведении игроков, применяющих процедуру исключения доминируемых стратегий, неубедительно. Напротив, процедура исключения строго доминируемых стратегий всегда приводит к однозначному результату независимо от последовательности исключения.

Пример 2.3. Задана биматричная игра.

Найти все значения параметра t, при которых стратегия а первого игрока строго доминирует стратегию Ь.

Решение

Условия строгого доминирования:

Ответ: Ге (-1;1).