Устойчивость линейных однородных систем

Пусть (3).

— вещественная система, — ее произвольное решение. Замена приводит (3) к виду, т. е. произвольное решение уравнения (3) переводится в тривиальное решение того же уравнения. Следовательно, все решения уравнения (3) устойчивы по Ляпунову, асимптотически устойчивы или неустойчивы одновременно. Поэтому можно говорить об устойчивости уравнения (3), понимая под этим устойчивость всех его решений, в частности тривиального.

Лемма 1. Пусть и или, где — неособая при всех матрица, ограниченная по норме вместе с обратной. Тогда ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме при тогда и только тогда, когда обладает таким свойством.

Лемма вытекает из оценки .

Следствие. Пусть , — нормированная при фундаментальная матрица уравнения (3). Любая фундаментальная матрица уравнения (3) ограничена, не ограничена или бесконечно мала по норме вместе с .

Теорема 1. 1) Для того чтобы уравнение (3) было устойчивым по Ляпунову, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были ограничены при. 2) Для того чтобы уравнение (3) было асимптотически устойчивым, необходимо и достаточно, чтобы его фундаментальные матрицы были бесконечно малыми при .

Доказательство. 1) Достаточность. Пусть ограничена на. Решение задается формулой. (*).

Так как, то. Следовательно, уравнение (3) устойчиво по Ляпунову, так как устойчиво его тривиальное решение. Действительно, если, то при всех. (**).

1) Необходимость. Пусть уравнение (3) устойчиво по Ляпунову. Тогда устойчиво его тривиальное решение, и выполняется (**). Пусть фиксировано. Положим. Если, то. Из (*) и (**) имеем, т. е. ограничена. Аналогично доказывается ограниченность, а вместе с ними и матрицы .

2) Достаточность. Пусть при. В силу (*) при всех, что и дает асимптотическую устойчивость.

Необходимость. Пусть для любых при. Положим. В силу (*), следовательно,. Аналогично доказывается, что, , что означает при. Теорема доказана.

Применим теорему 1 к исследованию устойчивости уравнения (3) с постоянной матрицей коэффициентов P. Уравнение (3) в этом случае имеет фундаментальную матрицу, , где — жорданова форма матрицы P. По теореме 1, лемме 1 и следствию к ней устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость и неустойчивость уравнения (3) эквивалентны соответственно ограниченности, бесконечной малости и неограниченности матрицы при. Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 2. Линейная однородная система с постоянным коэффициентами: 1) устойчива по Ляпунову тогда и только тогда, когда среди собственных чисел матрицы коэффициентов нет таких, вещественные части которых положительны, а число мнимые и нулевые собственные числа либо простые, либо имеют только простые элементарные делители; 2) асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы коэффициентов имеют отрицательные вещественные части.

Ниже рассматриваются необходимые и достаточные условия отрицательности корней характеристического уравнения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами — критерий Гурвица (Рауса-Гурвица), а также частотный критерий Михайлова, являющийся геометрическим признаком, эквивалентным критерию Гурвица.

Определение. Полином, где, , называется полиномом Гурвица, если все его корни имеют отрицательные вещественные части.

Если полином является полиномом Гурвица, то все .

Составимматрицу Гурвица вида.

Теорема Гурвица (критерий Гурвица). Для того чтобы полином являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры его матрицы Гурвица :

Если степень полинома сравнительно большая, то применение критерия Гурвица становится затруднительным. В этом случае для определения расположения корней полинома на комплексной плоскости иногда оказывается более удобным использование частотного критерия Михайлова.

Определение. Пусть, где, ,. Кривая, называется годографом Михайлова функции .

Критерий Михайлова непосредственно следует из леммы:

Лемма 2. Угол поворота в положительном направлении ненулевого вектора при равен, где — число корней полинома с положительной вещественной частью с учетом их кратностей.

Критерий Михайлова. Для того чтобы полином, не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота в положительном направлении вектора при был бы равен .

Замечание. Если полином есть полином Гурвица степени, то вектор монотонно поворачивается в положительном направлении на угол, то есть годограф Михайлова, выходя из точки положительной полуоси, последовательно пересекает полуоси, проходя квадрантов.