Неразрешимость некоторых задач на построение циркулем и линейкой

В данном подпараграфе рассмотрим решение классических геометрических задач древности.

Задача об удвоении куба

Дан куб. Циркулем и линейкой построить ребро нового куба, объем которого вдвое больше объема данного куба.

Решение. Возьмем ребро данного куба за единицу, а ребро нового куба обозначим через а. Тогда а³ = 2, откуда а³ — 2 = 0. Следовательно, а является корнем многочленах³ — 2. Поскольку рациональные корни этого многочлена должны быть целыми и находиться среди делителей свободного члена, то заключаем, что данный многочлен не имеет рациональных корней. По теореме 4.13 отсюда следует, что отрезок длины а нельзя построить циркулем и линейкой.

Исторический экскурс

Эта задача появилась в школе пифагорейцев около 540 г. до н.э. Легенда гласит, что, когда в Афинах разразилась чума, жители отправили делегацию на древнегреческий остров Делос и оракул местного храма известил волю богов: нужно удвоить жертвенник храма, имеющий форму куба. Эта задача не поддавалась решению классическими инструментами — циркулем и линейкой, и чума долго свирепствовала, унеся множество жизней. Благодаря легенде задачу стали называть «делосской».

Задача о трисекции угла

Данный угол циркулем и линейкой разделить на три равные части. Решение. Обозначим величину данного угла через ср. На рис. 4.1 данный угол ZAOC = ф, а искомый угол ZBOC = <�р/3. Обозначим а = coscp, b = cos (p/3.

Задача сводится к построению циркулем и линейкой по данному отрезку а искомого отрезка Ь. Найдем связь между ними. По фор;

( ф. ф)³

муле Муавра! cos-^ + isin-j I = cos (p + isi Приравняем действительные части:

откуда 4Ь³ — ЗЬ — а = 0. Следовательно, искомая величина b является корнем уравнения 4л:³ — Зл: — а = 0.

D ⁷¹ т ^{71 1}

Возьмем конкретное значение (р = —. Тогда a = cos (p = cos—= — и уравнение принимает вид 4л:³ -Зл:-^-=0, откуда вл'³ — 6х- 1 = 0.

Таким образом, b является корнем многочлена 8л:³ — 6х — 1. Вместе с тем этот многочлен, как легко видеть, не имеет рациональных корней. Это в соответствии с теоремой 4.13 говорит о том, что отрезок b в этом случае нельзя построить циркулем и линейкой, т. е. угол в 60° циркулем и линейкой нельзя разделить на три равные части. Отсюда делаем вывод о неразрешимости циркулем и линейкой задачи о трисекции угла.

Задача о квадратуре круга

Циркулем и линейкой построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Решение. Пусть дан круг радиуса а и х — сторона искомого квадрата. По условию, л:² = па². При а = 1 получаем уравнение л:² = п. Но в 1882 г. К. Ф. Линдеман (1852—1901) доказал, что число л не является алгебраическим, а значит, х не может быть выражено через единицу с помощью арифметических операций и извлечения квадратного корня. Следовательно, л, а вместе с ним и л, не могут быть построены циркулем и линейкой. Это подвело черту под многочисленными попытками решить задачу.

В Мюнхенском университете перед математической аудиторией установлен бюст Карла Фердинанда Линдемана, и на постаменте изображен круг, пересеченный квадратом той же площади, внутри которого написана буква я.

Циркулем и линейкой построить правильный семиугольник.

Решение. Эта задача сводится к делению окружности на семь равных частей, т. е. к построению комплексных корней уравнения z⁷ = 1, или z⁷ -1 = 0. Исключим корень Z⁷ = 1, или Z⁷ — 1 = 0. Исключим корень 2=1, который не надо строить. Разделив уравнение на Z — 1, получим Z⁶ + Z^s + Z⁴ + Z³ + Z² + Z + 1 = 0. Разделим это уравнение на Z³ и сгруппируем:

откуда z³ + = t³ — 3t. Выполняя замену переменной, получаем урав;

z³

нение t³ + t² — 3t — 2 = 0. Многочлен t³ + t² — 3t — 2 не имеет рациональных корней. Отсюда по теореме 4.13 делаем вывод, что t, а вместе с ним и Z, нельзя построить циркулем и линейкой.

Приведем без доказательства теорему, описывающую правильные многоугольники, которые можно построить циркулем и линейкой.

Теорема 4.14 (Гаусса). Циркулем и линейкой можно построить правильный п-угольник тогда и только тогда, когда п = = 2^тррр₂'" Рь ^г&^{е т} — целое неотрицательное число, ар_{ — различные простые числа вида р₍ -2^2Щ +1, а, е N₀ = N и {0},? = 1, 2, …, к.

В частности, циркулем и линейкой можно построить правильный 17-угольник — этому была посвящена первая публикация 19-летнего Гаусса, после чего он твердо решил посвятить себя не филологии, а исключительно математике.

Задача о построении треугольника по биссектрисам

Циркулем и линейкой построить треугольник по данным его биссектрисам.

Решение. Рассмотрим частный случай общей задачи: циркулем и линейкой построить равнобедренный треугольник, описанный около единичной окружности, по данному отношению его биссектрис.

На рис. 4.2 AF—одна из равных биссектрис и пусть длина биссектрисы BD = а. Обозначим —- = к, тогда AF = —. Длину основания АС AF к

примем равной 2Ь. Радиус вписанной окружности, по условию, равен.

BD BE

единице. Из подобия треугольников ABD и ОБЕ получаем откуда — = ——— = ]а² + Ь² — Ь. Следовательно, а = Ь (1а² +Ь² — Ь), Ъ 1.

a + b² =Ь1а² + Ь², а² + 2ab² + Ь⁴ = Ь²(а² + Ь²) = а²Ъ² + Ь⁴, а² = а²Ъ² —

— 2ab² = ab²{a — 2), откуда Ь² =

а

а-2

Из прямоугольного треугольника AOD находим: АО = lAD² + OD² =

I— AF АО

— jb² +1. Далее, из подобия треугольников AFG и AOD имеем — =

«» AFOD, а _я""

откуда FG =-= —. Из прямоугольного треугольника AFG

АО kJb² +1.

находим.

CD CG

Из подобия треугольников CBD и CFG имеем — = —, откуда.

BD FG

оЪ b.

Поскольку AG + GC = АС, то —, +—, =2Ь, откуда.

Wb² +1 k’Jb² +1.

а + 1 = 2klb² +1, а² + 2а + 1 = 4к²(Ь² +1). Подставляя сюда выражение Ъ² через а, получим.

После упрощения получаем а³ — (8к² + 3) а + 8к² -2 = 0. Следовательно, а является корнем уравнения х³ — (8к² + 3) х + 8к² -2 = 0. При к = 2 получаем уравнение х³ — 35х + 30 = 0. Оно не имеет рациональных корней, а значит, поставленная частная задача и вместе с ней общая задача не разрешимы циркулем и линейкой.