Методы построения ротатабельных планов второго порядка в трех и более измерениях

Рассмотрим способ построения ротатабельных планов второго порядка в трех измерениях, который может быть обобщен на случай четырех и более измерений. Определим преобразование точек в трехмерном пространстве. Пусть W (x" х₂, х₃) = (х₂, х₃, х,). Тогда W²(x, х₂, х₃) = (х₃, х₃, х₂) и W³(x, х₂, х₃) = (х, х₂, х₃), т. е. W, W² и W³ = I образуют циклическую группу третьего порядка. Далее, пусть ЯДх^ х₂, х₃) = = (-х₁, х₂, х₃), Я₂(х₁, х₂, х₃) = (Хцх₂, х₃), R₃(x_v х₂, х₃) = (х, х₂,-х₃). Четыре преобразования W, Я, Я₂ и Я₃ образуют группу G преобразований из 24 элементов. Легко видеть, что все эти преобразования различны. К произвольному элементу (х_х, х₂, х₃) в трехмерном пространстве можно применить все преобразования группы G. Таким путем получим расположение из 24 точек с координатами.

Обозначим это расположение через G (x₃, х₂, х₃). Заметим, что если (/, т, п) обозначает любую другую точку этого расположения, то G (x, x₂, х₃) = G (l, т, п). Расположение G (x, x₂, х₃) удовлетворяет всем требованиям моментов для ротатабельности второго порядка, за исключением:

Определим теперь функцию.

которая постоянна для всех 24 точек из G (Xj, х₂, х₃).

Если K (x_v х₂, х₃) = 0, то G (Xj, х₂, х₃) является ротатабельным планом. Условие К (х_к, х₂, х₃) = 0 и масштабное условие ~к₂ = 1 накладывают два ограничения на выбор точек (х_х, х₂, х₃). В этом случае имеем бесконечный класс ротатабельных планов второго порядка, зависящий от одного параметра. В частности, в этот план входит и такой, точки которого находятся в вершинах усеченного куба.

Пусть теперь К (х_1? х₂, х₃) ^ 0 для точек расположения G (Xj, х₂, х₃). Определим 2 К (х_г, х₂, х₃) по всем точкам из расположения S как эксцесс этого расположения и обозначим его через ?(S). Тогда.

Необходимо обратить внимание на следующее. Наряду с математическим ожиданием и дисперсией используются моменты более высоких порядков. Величины а_к = Щ^к и ц_к = = М (^ - МЪ,)^к называют моментом порядка к и центральным моментом порядка к. Очевидно, что а_к и являются соответственно математическим ожиданием и дисперсией случайной величины 2;, т. е.

Четвертый центральный момент р₄ является характеристикой островершинности или плосковершинности распределения. Обычно рассматривают безразмерную характеристику, которая называется эксцессом распределения.

Если? > 0, то кривая распределения имеет более высокую и «крутую» вершину по сравнению с кривой нормального распределения. Если же? < 0, то кривая распределения имеет более низкую пологую вершину по сравнению с кривой нормального распределения (предполагается, что обе кривые имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии). Отметим, что для нормального распределения Е = 0.

В рассматриваемом случае эксцесс может принимать как положительные, так и отрицательные значения, в зависимости от выбора (х_1; х₂, х₃). Ясно, что? E (Sp = E (?Sj), где? E (Sp.

; i i

означает, что точки, принадлежащие не одному S-, вкладываются в сумму каждый раз, как они встречаются. Если множества точек S, S₂, S_m удовлетворяют условиям ротатабельности второго порядка, за исключением условия (4.25), то соотношение.

является необходимым и достаточным для ротатабельности точек всего расположения Sj + S₂ + … + S_m. Рассмотрим частные случаи расположения G (Xj, х₂, х₃).

1. G (p, q, 0) содержит 12 точек (±р, ±q, 0), (0, ±р, ±q), (±q, 0, ±р), каждая из которых встречается дважды. Обозначим это расположение через^G (p, q, 0). Его эксцесс [8].

может быть величиной положительной или отрицательной в зависимости от значений р и q.

Расположение ^ G (p, q, 0) будет само образовывать ротата;

" 4 2 2 4 Р² 3 ± V5.

бельныи план, если р — 3р q + q = 0, т. е. если —г =-,.

_ Я ²

р, V5 + 1, Y5−1.

откуда т = 0 или 0, где 0 = —-—, 0 = —-—.

Координаты точек.

и можно показать, что они располагаются в вершинах икосаэдра.

2. G (a, а, а) содержит 8 точек (±а, ±а, ±а), каждая из которых встречается по три раза. Точки расположены в вершинах куба. Обозначим это расположение через |с (а, ^а>а). Его эксцесс.

всегда отрицательный, т. е. план не может быть сам по себе ротатабельным.

3. G (c, 0, 0) содержит 6 точек (±с, 0, 0), (0, ±с, 0), (0, 0, ±с), каждая из которых встречается четыре раза. Они расположены в вершинах октаэдра и обозначаются через ^ G (c, 0, 0). Его эксцесс.

всегда положителен, т. е. это расположение в отдельности не может образовывать ротатабельный план. Для систематизации обозначений напишем точку (0, 0, 0) как -^-G (0, 0, 0). Следовательно, п₀ центральных точек могут быть обозначены через^-G (0, 0, 0).

Рассмотрим комбинацию расположенийG (a, a, а) и.

1 ³ -G (c, 0, 0), куб + октаэдр, его эксцесс [8].

если с⁴ + с₂ = 8а⁴. В этот класс планов входят в качестве частных случаев хорошо известные планы куб + октаэдр и куб 4- дважды-октаэдр.

Можно также объединять расположения с переменным эксцессом с другими расположениями, чтобы получать ротатабельные планы. Например, для плана икосаэдр + куб [8] эксцесс.

Этот класс планов имеет хорошо известные частные случаи: икосаэдр и додекаэдр. Конструктивный метод, который здесь использовался, коротко состоит в следующем. Замечено, что некоторое расположение точек, а именно G (x_v х₂, х₃), удовлетворяет ряду условий ротатабельности для моментов. Требуя выполнения оставшегося условия, находим ограничения на устройство точек. Придавая х_х, х₂, х₃ разные значения, получаем конкретные планы. Кроме расположения G (x, х₂, х₃), рассмотренного выше, можно найти другие расположения точек, подходящие для образования ротатабельных планов второго порядка в трех измерениях.

Рассмотрим аналогичный метод для построения ротатабельных планов второго порядка в четырех и более измерениях.

Пусть (Xj, х₂, …, х_к) — точка в /с-мерном пространстве и Р_к — симметричная группа порядка к всех перестановок из к элементов x_v х₂, …, х_к. При помощи преобразования Р_к из точки (xj, х₂, …, xj получаем к точек. Пусть в этом же /с-мерном пространстве определено преобразование P_ik, i = 1,2,…, к, которое переводит точку (х_1; х₂,…, х"…, х_к) в точку (х_1; х₂, …, -х" …, х,;). Применяя это преобразование к к элементам Р_к, получим 2^кк точек. Все эти точки различны, если различны х_1; х₂, …, х^ и ни один из них не равен нулю. Обозначим полученную совокупность из 2^кк точек через H (x_v х₂, …, х_к). Она содержит точки (±x_f, ±x_i ,…, ±х_|(), где набор индексов ij, i₂,…, i_kпробегает всевозможные перестановки из 1, 2,…, к. При этом выполняются условия

и все остальные суммы вплоть до четвертого порядка равны нулю. Расположение Н (.х_и х₂, …, х_к) имеет эксцесс [8J.

Число точек в Н (лх₂, х_к) слишком велико по сравнению с числом констант, которые необходимо определить, поэтому надо уменьшить объем расположения, полагая некоторые л, равными нулю или равными друг другу. Заметим, что при к факторах число констант, которые необходимо оценить для модели второго порядка, равно.

что даст 15 констант при к = 4, 21 — при к = 5, 28 — при к = 6 и 36 — при к = 7. Так как большое число моментов должно быть сбалансировано при выборе точек плана, то очень редко удается получить планы, в которых количество точек равно даже удвоенному числу констант, подлежащих оцениванию. Чтобы ограничить объем расположения Н (х, х₂,…, х_к), будем рассматривать только те случаи, когда не более трех из x_v х₂,…, х_к.

Отсюда вытекает, что надо разрешить р и q встречаться только по одному разу. Это приводит к рассмотрению расположений вида.

Расположение имеет 4к (к — 1) точек и его эксцесс равен.

Число точек в этом расположении равно 48 при к = 4, 80 при к = 5, 120 при к = 6 и 168 при к = 7. Само S (p, q, О*'²) образует ротатабельный план, когда его эксцесс равен нулю, т. е. когда 4(к — 1)(р⁴ + q⁴) — 24p²q² = 0.

Р²

Это возможно только при к = 4 и —г = 1, причем соответ;

Ч

ствующий план содержит всего лишь 2к (к — 1) = 24 точки.

Рассмотрим теперь случай, когда имеется только два разных значения для координат (табл. 4.29).

Таблица 4.29. Расположения точек для получения ротатабельных планов второго порядка при к > О

• 1. Пусть у = О, а = 1, р = /с-1. Тогда расположение
• —-Н (р, q^fc₁) содержит к2^к точек, что равно 64 точкам
• (к- 1)!

при к = 4, 160 — при к = 5, 384 при к = 6 и 896 — при к = 7.

• 2. Пусть теперь одно из двух значений равно нулю, т. е. у = 0, q = 0. В табл. 4.29 представлены расположения, которые построены при этих предположениях и могут быть скомбинированы друг с другом для образования ротатабельных планов.
• 3. Если у = р = 0, то получается устройство S], которое использует только одно значение для координат (см. табл. 4.29). Из таблицы видно, что расположения S, и S₃ имеют отрицательный эксцесс, S₂ и S₄ (при к > 4) — положительный и S₅ имеет переменный эксцесс, отрицательный при к < 7 и равный нулю при к = 7. Полученные расположения могут быть теперь скомбинированы аналогично случаю трех переменных.