Свободные колебания с учетом причин, вызывающих рассеяние энергии

График, приведенный на рис. 1.2, показывает, что невесомый стержень с одной массой, начавший колебаться, будет продолжать эти колебания неограниченное время без воздействия каких-либо сил. В действительности этого не происходит. Любая упругая система, выведенная из состояния равновесия, поколебавшись, останавливается в положении статического равновесия. Дело в том, что при циклических колебаниях конструкций часть энергии необратимо поглощается и рассеивается в виде тепла в окружающей среде. К причинам, приводящим к рассеянию энергии, относятся:

• • силы внутреннего трения, возникающие из-за вязкости или неполной упругости самого материала конструкции;
• • силы трения в местах соединения элементов конструкции и на опорах;
• • силы сопротивления среды, в которой происходят колебания (воздух, жидкость, грунт и т. п.).

Все эти факторы объединяются под общим названием «внутреннее трение» в конструкции. Это внутреннее трение и является причиной затухания свободных колебаний во времени.

При циклических деформациях идеально упругой линейной системы действующая внешняя циклическая сила F прямо пропорциональна упругому перемещению 2. Энергия линейной упругой системы представляет собой площадь треугольника.

Рис. 1.9. К определению коэффициента поглощения Для реальной системы, которая обладает внутренним трением, зависимость («F—z») нелинейна и двузначна. При установившихся циклах нагрузки и разгрузки она представляет собой замкнутую кривую, называемую петлей гистерезиса. При гармонических колебаниях петля представляет собой эллипс с центром в начале координат (рис. 1.9).

Поглощение энергии оценивается безразмерным коэффициентом.

Здесь AW — энергия, рассеиваемая за один цикл колебаний и обычно представляемая площадью эллипса; W — наибольшая потенциальная энергия упругой системы также за один цикл.

Коэффициенты у определяются из эксперимента. Приведем ряд средних значений коэффициентов поглощения у из справочника [24] для различных конструкций:

• • стальные мосты — 0,17;
• • железобетонные ребристые перекрытия — 0,57;
• • железобетонные перекрытия — 0,44;
• • железобетонные балки — 0,56;
• • железобетонные рамы — 0,38;
• • железобетонные мосты — 0,63;
• • обычные деревянные перекрытия — 0,35;
• • деревянные клееные балки — 0,12.

Далее возникает вопрос использования этих коэффициентов при динамических расчетах конструкций. Для этой цели было предложено несколько гипотез. Наибольшее распространение получила гипотеза вязкого трения, она и приводится ниже. Понятие еще об одной гипотезе приводится в приложении 3.

Рассматриваемая так называемая гипотеза вязкого трения подкупает своей простотой, хотя и подвергается серьезной критике как у нас в стране, так и за рубежом. Гипотеза вязкого трения была высказана лордом Кельвином еще в 1865 г. Однако опыты для некоторых металлов выполнил и опубликовал В. Фойгт. По этой причине гипотезу вязкого трения обычно называют гипотезой Фойгта. Согласно гипотезе Фойгта диссипативная сила принимается пропорциональной скорости колебаний, т. е.

где р (размерность |масса/время|) — коэффициент пропорциональности, или коэффициент сопротивления, — величина, характеризующая силу вязкого трения при скорости y (t) = 1.

Поскольку диссипативные силы препятствуют отклонению массы от положения равновесия, то, как и восстанавливающие силы, они будут направлены к положению равновесия (см. рис. 1.1, в, г). Согласно формуле (1.16) ее максимальное значение будет иметь место при прохождении положения равновесия.

Для решения поставленной задачи опять выделим часть стержня с массой и на основании принципа Даламбера составим уравнение суммы проекций всех сил на направление перемещения массы:

Подставим сюда значения вошедших в формулу (1.17) сил:

р Разделим все уравнение на m_v введем новое обозначение 2а, = — и учтя, тем соотношение (1.4):

По-прежнему решение уравнения будем искать в виде е^к. Характеристическое уравнение примет вид k² + 2а,& + coj = 0, откуда.

Совершенно очевидно, что решение зависит от соотношения величин а, и со,. Здесь возможны четыре случая.

1. а, > со, — случай большого сопротивления (например, масса находится в вязкой жидкости или в грунте).

Корни в выражениях (1.19) будут действительными и разными: ft, ₂ =.

= -а, ± со₀, где со₀ = yja²_t -со,.

Решение уравнения (1.18) примет вид.

где С, и С₂ — произвольные постоянные; chco₀? = 0,5(е^ю°^г + shco₀? =.

= 0,5(?^w°^r — — гиперболические косинус и синус.

2. а, = со, (переходный случай).

При этом корни будут действительными и одинаковыми: ft, = k₂ = -а,. Коэффициент сопротивления, или демпфирования, р = 2тсо,.

Такое демпфирование называется критическим.

В этом случае имеет минимальное значение, при котором не будет коле;

^ Р баний, а частота со. = —— [291.

¹ 2т

Решение уравнения (1.18) примет вид.

где С и D — произвольные постоянные. Выражения (1.20) и (1.21) представляют апериодическое движение. Выведенная из положения равновесия масса постепенно возвращается в исходное положение.

• 3. а, = 0. Это решение получено. Оно имеет вид (1.8).
• 4. а, < со, — слабое сопротивление. В этом случае оба корня являются

комплексными: k_l2 = -a, i^-lXcofaf).

Введем обозначение.

Тогда.

Выражение в скобках было получено ранее. В итоге с учетом соотношения (1.7) будем иметь окончательное решение уравнения (1.18):

Функция (1.23) показывает, что при а, < со, происходят колебания, имеющие периодический затухающий характер. Угловая частота колебаний представлена в (1.22).

Произвольные постоянные определим из начальных условий.

Пусть при t — 0 у_х = у₀, а у_х = v₀.

Получим выражение для скорости путем дифференцирования соотношения (1.23) по времени:

Из первого условия у₀ = А. Из второго условия у_{ = -сх_{у₀ + со_аВ = v₀, от;

^0 + сх₁ г/₀

сюда В =-. Подставим найденные значения А и В:

Далее допустим, что в начальный момент при t = 0 у₀ = 0. В результате выражение (1.24) будет проще:

График функции (1.25) изображен на рис. 1.10.

Теоретически полное затухание колебаний наступит при t—> °°, что противоречит опыту. Это противоречие свидетельствует об одной из порочных сторон рассматриваемой гипотезы.

С целью оценки скорости затухания колебаний составим соотношение двух смежных максимальных амплитуд при sinco_a? = 1. Время для этих со;

Рис. 1.10. График свободных колебаний с учетом диссипативных сил стояний обозначим через t_n и t_n+v t_n+i — t_n = Т, где Т — по-прежнему постоянный период колебаний. Итак,.

Для меры затухания колебаний удобно взять не само соотношение, а его натуральный логарифм, т. е.

Натуральный логарифм отношения двух смежных максимальных амплитуд называется логарифмическим декрементом колебаний.

Величина декремента является постоянной, нс зависящей от времени. Она учитывает характеристики конструкции и окружающей среды. Так как этих характеристик несколько (тип сооружения, материал, трение в опорных устройствах и т. п.), а влияние их неопределенно, то коэффициент демпфирования или затухания а теоретически пока не удается определить. Но из выражения (1.26) его легко определить экспериментально. Для этой цели с помощью соответствующего прибора записывается виброграмма свободных колебаний (см. рис. 1.10). На этой виброграмме в масштабе длин измеряют у_п и у_п+х, а в масштабе времени (марка времени на рис. 1.10 отсутствует, но ее изображение приведено на рис. 8.12) определяют период Т. Затем из формулы (1.26) находится коэффициент а. Из эксперимента известно, что коэффициент поглощения равен удвоенному значению логарифмического декремента, т. е. у = 2аТ. Отсюда легко определяется коэффициент, а = —, который необходимо учитывать при расчете в зоне резонанса.

В случае, если принять балку (см. пример 1.1) за мостовую конструк- 0,17.

цию, р = 0,17. Тогда а = 2 QQ2 ⁼ 0,14 ^с '• Частота свободных колебаний с учетом демпфирования определяется по формуле (1.22). Если в нее подставить, а и со, из примера 1.1, то получим со_а = ^/(10,13)² — (0,14)" ~ 10,13 с^-1, т. е. влияние демпфирования незначительно. Величина, а не очень велика и для других конструкций, колеблющихся на воздухе, поэтому в дальнейшем частоты свободных колебаний определяются без учета диссипативных сил, а просто принимается, что оо_а ~ со,.