Клубное равновесие. 
Микроэкономика

Рассмотрим важный тип смешанного общественного блага.

Клубом называют ограниченное множество потребителей, которые имеют возможность без ограничений потреблять некоторое благо и при этом образуют единый хозяйственный субъект. Клубное благо обладает свойством неисключаемости в отношении членов клуба, но оно не обладает свойством неконкурентности, поскольку с увеличением количества членов клуба качество потребления для каждого из них ухудшается. В качестве клубного блага обычно выступают услуги, оказываемые группе лиц: площадка для гольфа, пляж, парк. Наиболее наглядным примером клубного блага служит плавательный бассейн. Объем такого блага равен площади водной поверхности бассейна.

Предполагается, что все члены клуба имеют одинаковую функцию полезности, которая зависит от двух переменных: объема блага и численности членов клуба. Значение этой функции равно той денежной сумме, которую готов платить ежегодно член клуба при заданном объеме блага и заданной численности клуба. Функция полезности растет с увеличением объема блага и уменьшается с увеличением числа членов клуба. Прирост полезности, вызванный увеличением объема клубного блага на единицу, уменьшается с увеличением объема блага при неизменной численности клуба. Иными словами, предельная полезность клубного блага убывает.

Предполагается, что издержки производства клубного блага делятся поровну между членами клуба. Функция индивидуальных издержек, или просто функция издержек, есть отношение функции общих издержек и численности клуба. При заданном объеме блага и численности клуба значение этой функции равно цене клубного блага, или цене клубной карты.

Потребительский излишек члена клуба равен разности величины полезности и цены клубного блага. Предполагается, что цель клуба как хозяйственного субъекта состоит в максимизации потребительского излишка каждого члена клуба. Если эта цель достигнута, то имеет место клубное равновесие. Данный тип равновесия отличается от традиционного равновесия тем, что он характеризуется двумя независимыми показателями (объемом блага и численностью клуба), в то время как равновесие любого субъекта традиционной микроэкономики характеризуется одним показателем: объемом блага в теории потребителя, объемом выпуска в теории производителя и т. д. Объем блага и численность клуба, при которых достигается клубное равновесие, называют равновесными.

Определим условия клубного равновесия, для этого рассмотрим два случая.

Случай 1. Исследуется изменение равновесного объема клубного блага при изменении численности клуба. Сначала рассмотрим функцию полезности и издержек при некоторой исходной численности клуба N. На рис. 14.5а исходная функция полезности обозначена через U, а исходная функция издержек — через Cj. Равновесный объем блага, обеспечивающий максимальную разность полезности и издержек в исходном состоянии, обозначен через Q*. Предположим далее, что число членов клуба увеличилось до N₂. Тогда кривая полезности переместится вниз, поскольку, каков бы ни был объем блага (площадь бассейна), полезность для каждого потребителя уменьшится (в бассейне станет теснее). Кривая издержек также переместится вниз, поскольку с увеличением численности клуба на каждого его члена приходится меньшая доля общих издержек. На рис. 14.5а новые кривые полезности и издержек изображены пунктиром и обозначены соответственно через U₂ и С₂. Из рисунка видно, что при увеличении численности клуба равновесный объем клубного блага увеличивается. Новый равновесный объем обозначен через Q₂. Зависимость равновесного объема клубного блага от численности клуба изображена на рис. 14.56 восходящей кривой /, которую называют кривой «численность — объем».

Случай 2. Исследуется изменение равновесной численности клуба при изменении объема клубного блага. Сначала рассмотрим функции полезности и издержек при некотором исходном объеме блага Q. На рис. 14.6а исходная функция полезности обозначена через ?/j, а исходная функция издержек — через С. Равновесная численность клуба.

Рис. 14.5. Построение кривой «численность — объем».

обозначена через Nf. Предположим далее, что объем блага увеличился до Q₂. Тогда кривая полезности переместится вверх, поскольку в бассейне станет просторнее. Кривая издержек также переместится вверх, поскольку производство большего объема блага потребует больших затрат каждого члена клуба, какова бы ни была их численность. На рис. 14.6а новые кривые полезности и издержек обозначены соответственно через U₂ и С₂. Из рисунка видно, что при увеличении объема клубного блага равновесная численность клуба увеличивается. Новая равновесная численность обозначена через N{. Зависимость равновесной численности клуба от объема клубного блага изображена на рис. 14.66 восходящей кривой /и, которую называют кривой «объем — численность».

Точка клубного равновесия есть точка пересечения кривой «численность — объем» и кривой «объем — численность». На рис. 14.7 эта точка обозначена через Е. Равновесный объем клубного блага обозначен через (?•, а равновесная численность клуба — через N*. Равновес.

ие. 14.6. Построение кривой «объем — численность» ная цена клубной карты рассчитывается по формуле TC (Q")/N*_y а равновесное значение удельного объема блага (приходящегося на одного члена клуба) — по формуле Q*/N*.

Рис. 14.7. Клубное равновесие.

Рассмотрим некоторые неравновесные состояния клуба (рис. 14.7):

• • в точке А численность членов клуба слишком мала, поэтому клубная карта слишком дорога;
• • в точке Побьем блага слишком велик, поэтому клубная карта слишком дорога;
• • в точке С численность членов клуба слишком велика, поэтому полезность для каждого из них слишком мала;
• • в точке D объем клубного блага слишком мал, поэтому полезность для каждого члена клуба слишком мала.

Пример 11. Пусть функция полезности члена клуба задана формулой

где Q — площадь поля для гольфа (км²); N— численность членов клуба (тыс. человек). Общие издержки клуба за год линейно зависят от объема клубного блага, причем постоянные издержки равны 10 млн руб., а предельные издержки равны 3 млн руб./км². Найдем параметры клубного равновесия. Потребительский излишек члена клуба равен:

Для того чтобы найти максимум этой функции, приравняем обе ее частные производные к нулю и решим систему двух уравнений. Получим, что оптимальная площадь поля для гольфа равна 1,11 км², а оптимальная численность клуба — 160 человек. Равновесная цена клубной карты равна 83 тыс. руб. в год:

Задача о клубном равновесии может иметь бесконечное множество решений. Например, когда функция полезности зависит только от удельного объема клубного блага, а функция общих издержек пропорциональна объему клубного блага (постоянные издержки равны нулю, предельные издержки постоянны), тогда потребительский излишек равен:

где q — Q/N — удельный объем клубного блага, приходящийся на одного члена клуба, а МС — предельные издержки. Для того чтобы выяснить условие клубного равновесия для данного случая, приравняем производную функции потребительского излишка нулю, получим:

где MU — предельная полезность, равная приросту полезности для члена клуба при увеличении удельного объема блага на единицу. Данное условие позволяет определить оптимальное значение удельного объема блага q•. Всевозможные варианты клубного равновесия изображаются в виде прямой, исходящей из начала координат. Тангенс угла наклона этой прямой к оси «численность клуба» равен равновесному значению удельного объема клубного блага.

Пример 12. Пусть полезность использования плавательного бассейна членом клуба выражена в тысячах рублей и задана формулой 2<�т°'⁵, где q — количество квадратных метров бассейна, приходящихся на одного члена клуба. Общие издержки пропорциональны площади бассейна, причем предельные издержки равны 0,2 тыс. руб./м². Найдем параметры клубного равновесия. Для этого приравняем производную заданной функции полезности к предельным издержкам:

Итак, клубное равновесие достигается, если на каждого члена клуба приходится 25 м² бассейна. Если, например, планируемая площадь бассейна равна 1 тыс. м², то равновесная численность клуба составит 1000: 25 = 40 человек. Максимальный потребительский излишек равен: