Логика высказываний. 
Логика

Основные определения и допущения логики высказываний

Идея создания универсального логического языка, позволяющего избавить человечество от мук творчества, лежит в основе всей современной логики. Заменить операции с мыслями чисто формальными действиями со знаками некоторого базисного языка, сформулировать надежные правила открытия и доказательства новых истин, которые можно было бы применять чисто механически, вывести из небольшого числа достоверных аксиом законы всех остальных наук — эти цели вдохновляли не одно поколение логиков, философов и математиков. Лишь в 1-й трети XX в. К. Геделем была доказана неосуществимость этой идеи в полном объеме. Но как часто бывает в истории, именно попытки воплотить в жизнь недостижимое — заменить творческий поиск рутинными преобразованиями символов — привели к созданию современной логики, которая по существу есть логика символическая. Ее назначение выражает следующее определение:

Символическая логика — это теория исчислений.

Исчислением принято называть формальный алгоритм построения новых символических объектов из заданных. Знаки и правила оперирования с ними в каждом исчислении тщательно определяются. Каждый введенный знак имеет свой точный смысл. Каждое правило трактуется однозначно. Благодаря такой определенности удается точно выражать логическую структуру рассуждений, логические связи между ними, эффективно преобразовывать одни рассуждения в другие. Именно эти особенности обеспечили широкое использование символической логики в исследованиях по основаниям математики, искусственному интеллекту, информатике, лингвистике и многим другим областям научного знания.

В настоящее время символическая логика представляет достаточнб обширную и дифференцированную совокупность теорий и исследований. Тем не менее можно выделить логику высказываний и ее расширение — логику предикатов в качестве общего базиса. В этой главе анализируется логика высказываний (ЛВ).

Она основана на определенных базисных понятиях и допущениях. Рассмотрим их. Исходным в ЛВ следует признать понятие высказывания.

Высказывание ЛВ — предложение, выражающее простое или сложное суждение.

Утверждение «Бессмертная любовь, рождаясь вновь, нам неизбежно кажется другою» (В. Шекспир) обладает субъектом, предикатом, связкой, знаком количества и тем самым выражает (простое) суждение. Следовательно, оно представляет высказывание Л В. Выражение «Бессмертная любовь» не обладает атрибутами суждения и поэтому не является высказыванием Л В.

В отличие от традиционной логики и логики предикатов субъектно-предикатная структура высказываний в Л В не принимается во внимание как не имеющая никакого значения для формализации доказательств.

Субъектно-предикатная структура высказываний в ЛВ не учитывается.

Единственное свойство высказываний ЛВ, которое принимается во внимание, — это их способность быть истинными или ложными суждениями. Истину и ложь принято называть логическими значениями, или значениями истинности высказываний Л В.

Высказывание Л В истинно, если и только если истинно выражаемое им суждение. В противном случае высказывание ЛВ считается.

ложным.

Предложение «5 больше 3» — истинное высказывание, потому что выражаемое им суждение истинно. Предложение «3 больше 5», наоборот, — ложное высказывание, потому что выражаемое им суждение ложно.

Второе по значимости в логике высказываний — понятие логического союза (связки).

В естественном языке логические союзы выражаются словами «не», «если… то», «или», «либо… либо», «если и только если», «ни… ни» и их многочисленными аналогами. С помощью логических союзов из простых высказываний образуются сложные высказывания.

Высказывание ЛВ считается сложным, если и только если оно содержит вхождение хотя бы одного логического союза. В противном случае высказывание простое.

Высказывание «Сегодня среда» — простое, а «Сегодня среда или четверг» — сложное, так как состоит из двух простых высказываний «Сегодня среда», «Сегодня четверг», соединенных союзом «или». Сложным будет высказывание «Неверно, что сегодня среда», так как оно представляет отрицание простого высказывания «Сегодня среда» с помощью логического союза «неверно, что».

В логике высказываний по соглашению допускается, что каждое простое высказывания либо истинно, либо ложно. При этом некоторые сложные высказывания — противоречивые — могут быть одновременно истинными и ложными. Ниже объясняется, почему такие высказывания называют логически ложными.

Допущение бивалентности. Каждое простое высказывание Л В либо истинно, либо ложно.

В логике высказываний также допускается, что логическое значение любого сложного высказывания однозначно определяется значениями истинности образующих его простых высказываний. Следовательно, значение истинности любого сложного высказывания — функция истинности значений истинности образующих его простых высказываний.

Значение истинности сложного высказывания ЛВ представляет функцию истинности значений истинности составляющих его простых высказываний.

Функции истинности представляют разновидность функций в обычном понимании — правил, связывающих переменные, называемыми аргументами функции, с другими переменными, называемыми ее значениями. Аргументами и значениями функций истинности служат логические значения — истина и ложь. Например, логическое отрицание есть одноаргументная функция истинности. Если высказывание «Сегодня среда» (аргумент функции отрицания) истинно (ложно), то ложно (истинно) высказывание «Неверно, что сегодня среда» (значение функции отрицания). Кроме одноаргументных функций в ЛВ встречаются двух-, трех-… я-аргументные функции истинности. Логику высказываний часто называют теорией подобных функций.

Простые высказывания определяют значение истинности сложного высказывания тремя принципиально различными способами.

• 1. Сложное высказывание может быть истинно независимо от того, все ли простые высказывания истинны, все ли ложны, или некоторые истинны и некоторые ложны. Такие высказывания принято именовать логически истинными, а также законами логики, тавтологиями.
• 2. Сложное высказывание может быть ложным независимо от распределения логических значений простых высказываний. Такие высказывания называются логически ложными, а также логическими противоречиями.
• 3. Сложное высказывание может быть истинно при одних распределениях логических значений й ложно при других. Такие высказывания принято называть правдоподобными (относительно истинными).

Высказывание «Сегодня среда или не среда» — логически истинное, так как оно истинно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда и не среда» — логически ложное, так как оно ложно в любой день недели. Высказывание «Сегодня среда» правдоподобное, так как оно истинно по средам и ложно во все остальные дни.

Как будет показано, все задачи Л В так или иначе связаны с построением алгоритма, позволяющего определить для произвольного высказывания, является ли оно логически истинным, логически ложным или правдоподобным.