Угол предпочтения и геометрическая интерпретация

Определение.

Углом предпочтения векторной оценки {у*, у *) = (/,(г*), /₂(х*)) называется множество точек в плоскости (г/, у₂), удовлетворяющих неравенствам у, > у*, у₂ > у.*, за исключением самой точки (у*, у*). Иначе говоря, угол предпочтения — это прямой угол с вершиной в точке (у*, у.*), с бесконечными сторонами (лучами), направленными параллельно осям у, и у₂ в положительных направлениях осей, причем стороны угла (лучи) в него включаются, но вершина (у*, у₂) не включается.

Рис. 4.3.1. Угол предпочтения точки (г/*, у*) в двумерном критериальном пространстве В?

Угол предпочтения изображен на рис. 4.3.1, где кружок в вершине (г/*, z/₂) отмечает тот факт, что сама вершина исключается из угла предпочтения.

Применение угла предпочтения для построения множества Парето продемонстрируем на примере дискретного множества альтернатив (см. рис. 4.1.1). Построим в каждой из 10 точек У, У₂,…, У₁₍₎ множества У на плоскости свой угол предпочтения. Если в этом угле предпочтения окажется хотя бы одна из остальных точек У, У₂,…, У₁₀, то вершина угла предпочтения — доминируема, т. е. не входит в множество Парето. Например, угол предпочтения с вершиной в точке У₆ содержит точку У₄. Значит, альтернативу х₆, имеющую оценку У_б, можно исключить — она не входит в множество Парето (рис. 4.3.2).

Оставшиеся после исключения точки У, У₂, У₄ и У₈ образуют образ множества Парето Рг (Х), состоящего из альтернатив x_v х₂, х₄ и х_ь. Иными словами, при построении угла предпочтения с вершинами в точках образа множества Парето не должно оказаться ни одной из остальных точек У, У₂,…, У₁₀. Например, угол предпочтения с вершиной в точке У₄ не содержит ни одной из точек У, У₂, …, У₁₀. Следовательно, х₄ входит в множество Парето (см. рис. 4.3.2).

Рис. 4.3.2. Углы предпочтения для точек У₄ и У₆ дискретного множества возможных оценок У в двумерном критериальном пространстве Я² и множество Парето Таким образом, окончательно множество Парето для примера 4.1.1 состоит из четырех точек: x_v x_v х₄ и х₈.

Приведем еще один экономический пример, касающийся построения множества Парето при изучении деятельности некоторой фирмы.

Построение множества Парето в дискретном случае Анализ качества выпускаемой фирмой продукции показал, что в последние годы товар фирмы стал уступать аналогичным товарам конкурентов. Фирма исследовала изменение конкурентных преимуществ, конкурентоспособность технологии, организационного уровня производства, рекламации и предложения по выпускаемой продукции, тенденции научно-технического прогресса в области производства данной продукции, качество поставляемых на фирму сырья, материалов, комплектующих изделий, информации. Анализ показал, что процесс, технология, организация производства и труда отвечают требованиям конкурентоспособности. Более подробный анализ выявил самое «узкое» место. Этим компонентом оказалось ключевое комплектующее изделие к товару. На втором этапе анализа был изучен рынок изделий данного класса и определены три лучших качественных варианта, выпускаемых другими фирмами, способных обеспечить высокое качество и конкурентоспособность товара. Потенциалом и временем для самостоятельного производства подобных изделий необходимого класса и качества фирма не располагает. Важнейшие параметры альтернативных вариантов решения по повышению качества товара приведены в табл. 4.3.1. Требуется выбрать Парето-оптимальиые из четырех альтернативных вариантов решения (вариант «оставить все как есть», при котором потери от брака составляют 4000 у.е. в год, в табл. 4.3.1 не включен).

Таблица 4.3.1

Альтернативные варианты решения.

Для решения достаточно сопоставить попарно четыре вектора, включая три столбца табл. 4.3.1 и вектор оценок «нулевого» варианта (в котором ничего нс менять нс надо), имеющий показатели соответственно 100 (цена), 0 (затраты), 4000 (потери) и 1,00 (коэффициент). Использовать угол предпочтения в данном примере не удается, поскольку при наличии четырех критериев строить конус предпочтения пришлось бы в четырехмерном пространстве. При сравнении нужно учесть, что второй и третий показатели (затраты и прогноз потерь) в соответствии с замечанием в начале главы необходимо умножить на -1, чтобы требовалась их максимизация согласно целям ЛПР. Тогда доминируемым оказывается вариант 3, так как он уступает варианту 2 но всем четырем частным критериям. Следовательно, множество Парето состоит из трех вариантов: «нулевого» (имеющего превосходство по второму показателю — затратам) и вариантов 1 и 2.

Отметим, что подобные задачи могут быть решены и другим способом — путем объединения отдельных частных критериев в один глобальный критерий (функцию полезности)^[1]. Однако для этого требуется дополнительная информация, позволяющая оценить «вес» каждого из частных критериев. Как минимум, в данном случае необходимо знать предполагаемый объем производства товара и срок окупаемости, в течение которого планируется окупить затраты. При этом основной вклад в глобальный критерий вносят первые два показателя — цена нового товара и единовременные затраты на маркетинг и проект. Если ограничиться в примере 4.3.1 рассмотрением лишь первых двух частных критериев, то можно построить углы предпочтения для каждого из вариантов, что приведет к тому же множеству Парето из трех вариантов.

Проиллюстрируем теперь применение угла предпочтения для построения РХХ) на примере непрерывного множества альтернатив (см. рис. 4.1.2). Главное отличие от дискретного случая заключается в том, что нет возможности построить угол предпочтения в каждой точке рассматриваемой области. Однако положение облегчается тем, что внутренние точки множества У, т. е. точки, не лежащие на границе, не могут принадлежать образу множества Парето. В самом деле, вместе с любой внутренней точкой (например, точкой М на рис. 4.3.3) в области У обязана оказаться и некоторая (пусть и очень малая) ее окрестность. Пересечение этой окрестности с построенным для внутренней точки М углом предпочтения (см. рис. 4.3.3) — не иусгое множество. Точки этого множества будут доминировать вершину М, которая, следовательно, не может быть образом точки множества Парето. Таким образом, в непрерывном случае справедливо нижеследующее утверждение.

Обратите внимание!

Образ множества Парето для непрерывного множества альтернатив X полностью состоит только из граничных точек соответствующей области векторных оценок У.

После исключения всех внутренних точек остается лишь выбрать с помощью угла предпочтения те граничные точки, которые войдут в образ множества Парето. Это можно сделать путем простой и геометрически наглядной процедуры, перемещая вершину угла предпочтения вдоль границы. При этом нет необходимости рассматривать каждую точку границы отдельно — включать в множество Парето или исключать из него можно сразу целые участки. Например, на рис. 4.3.3 весь криволинейный отрезок границы ВС принадлежит образу множества Парето, так как в любой точке,.

Рис. 4.3.3. Углы предпочтения для точек К, Л/, N непрерывного множества возможных оценок У в двумерном критериальном пространстве R² и множество Парето как и в точке К, в пределах угла предпочтения нет ни одной точки области Y. Всю остальную границу можно исключить из образа множества Парето, так как в любой точке границы, кроме участка ВС, как и в точке N, пересечение угла предпочтения с областью Yобязательно окажется непустым. Отметим, что все точки прямых отрезков АВ и CD (за исключением точек В и С) не попадают в образ множества Парето, поскольку они доминируемы точками В и С.

Таким образом, окончательно множество Парето для примера 4.3.1 состоит из всех точек х, отвечающих криволинейному отрезку границы ВС.

• [1] Фатхутдинов Р. А. Указ. соч.