Системы одновременных уравнений

Общий вид системы одновременных уравнений. Модель спроса и предложения

Одной из причин коррелированности регрессоров со случайными членами могут служить факторы, действующие одновременно и на сами регрессоры, и на объясняемые переменные при фиксированных значениях регрессоров. Иными словами, в рассматриваемой экономической ситуации значения объясняемых переменных и регрессоров формируются одновременно под воздействием некоторых внешних факторов. Это означает, что рассматриваемая модель не полна: ее следует дополнить уравнениями, в которых объясняемыми переменными выступали бы сами регрессоры. Таким образом, мы приходим к необходимости рассматривать системы одновременных или регрессионных уравнений.

Классическим примером является одновременное формирование спроса Q^d и предложения Q^s товара в зависимости от его цены Р

Здесь / — доход.

Если предположить, что рынок находится в состоянии равновесия, то в равенствах (9.1) следует положить Q^d = Q^s = Q. В этом случае наблюдаемое значение Р — это цена равновесия, которая формируется одновременно со спросом и предложением. Таким образом, мы должны считать Р и Q объясняемыми переменными, а величину дохода / — объясняющей переменной.

Разделение ролей между переменными в системе одновременных уравнений может быть проинтерпретировано следующим образом: переменные Q и Р формируют свои значения, подчиняясь уравнениям (9.1), т. е. внутри модели. Такие переменные называются эндогенными. Между тем переменная / считается в уравнениях (9.1) заданной, ее значения формируются вне модели. Такие переменные называются экзогенными.

С математической точки зрения, главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, между тем как эндогенные могут коррелировать (и, как правило, коррелируют). Естественно предположить, что схожие случайные факторы действуют как на цену равновесия, так и на спрос на товар. Причинная зависимость между переменными и приводит, очевидно, к коррелированности их со случайными членами.

Набор экзогенных переменных может быть различным. Так, например, в модели спроса и предложения в качестве экзогенных переменных к доходу могут быть добавлены процентная ставка, временной тренд и т. д.

Приведем общий вид системы одновременных уравнений. Пусть У," — эндогенные переменные, Х_{) — экзогенные переменные. Введем блочные матрицы В и Г вида:

Тогда общий вид системы одновременных уравнений представляется в матричной форме как.

где Кроме регрессионных уравнений (они называются также поведенческими уравнениями) модель может содержать тождества, которые представляют собой алгебраические соотношения между эндогенными переменными.

Например, для модели формирования спроса и предложения и цены равновесия имеем два поведенческих уравнения (9.1) и одно тождество Q^s=Q^d.

Тождества, вообще говоря, позволяют исключить некоторые эндогенные переменные и рассматривать систему регрессионных уравнений меньшей размерности. Так, в модели спроса и предложения можно положить Q^s = Q^d = Q и рассматривать структурную форму (9.2), где^[1]

В настоящей главе мы ограничимся случаем двух уравнений с двумя эндогенными переменными. Это не приведет ни к какой содержательной потере — все необходимые аспекты теории можно проследить на этом простейшем случае. В то же время такое ограничение позволит нам избежать излишней громоздкости в вычислениях.

Очевидно, что мы всегда можем выделить в левой части системы эндогенные переменные, т. е. записать уравнения в виде:

Наборы переменных Х и Х2 могут быть произвольными. Параметры р, вообще говоря, векторные. Если применить к уравнениям (9.3), (9.4) обычный метод наименьших квадратов, то, как показано в главе 8. получатся несостоятельные оценки параметров а, р, у. Таким образом, оценивание систем одновременных уравнений требует специальных методов, которым и посвящена настоящая глава.

• [1] В матрице-столбце X единица означает фиктивную переменную, умножаемуюна свободные члены уравнений системы.