Изучение геометрических преобразований

Возможность знакомства с симметричными фигурами появляется при изучении геометрического материала курса математики 5—6-х классов, если определенные шаги в этом направлении не были сделаны в начальной школе. Познакомить школьников с симметричными фигурами целесообразно при изучении прямоугольника, куба. Имеет смысл научить строить фигуру, симметричную данной, относительно точки и относительно прямой. Провести эту работу возможно совместно с учителем изобразительного искусства, как и выполнение рисунков симметричных фигур, работ на тему «Симметрия в архитектуре», «Симметричные фигуры вокруг нас».

Следующее обращение к симметричным фигурам может иметь место в начале изучения систематического курса геометрии в основной школе при систематизации знаний, полученных при изучении геометрического материала в 1—6-х классах. Более глубокое изучение свойств симметричных фигур целесообразно в теме «Четырехугольники», здесь можно определить центральную и осевую симметрии, сформулировать и обосновать их свойства, при изучении окружности имеет смысл изучить поворот вокруг точки, познакомить школьников с различными линиями (циклоида и др., что позволит рассмотреть и параллельный перенос). Свойства параллельного переноса целесообразно рассмотреть при изучении векторов, а при изучении подобия познакомить школьников с подобием и гомотетией.

Вновь при рассмотрении преобразований в систематическом курсе имеет смысл воспользоваться рисунками, моделями, компьютерной анимацией, предложить школьникам выполнить практические работы «Симметрия в природе и технике» и др., подготовить соответствующие доклады. Для этого ученики могут воспользоваться рядом статей Энциклопедического словаря юного математика, Энциклопедии для детей, Детской энциклопедии, использовать различные электронные ресурсы. Систематизация и обобщение видов преобразований и их свойств может быть выполнена при итоговом повторении курса геометрии основной школы. Уровень строгости изложения материала по геометрическим преобразованиям выбирается учителем в зависимости от подготовки школьников и выбора ими направления продолжения образования. Организовать эту работу можно и в форме научных докладов школьников, например «Гомотетия и ее свойства», сопроводив эту работу моделями и рисунками.

Повторяя основные методы решения геометрических задач, следует показать, как могут быть решены известные школьникам задачи с помощью геометрических преобразований. Применение преобразований к решению задач, конечно, можно начать раньше, например, при решении задач на построение. Так методом параллельного переноса может быть решена задача: построить треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне, а с помощью гомотетии — задача: вписать в данный треугольник квадрат так, чтобы одна сторона квадрата лежала на стороне треугольника.

В старшей школе схема изучения преобразований в пространстве немногим отличается от соответствующей схемы на плоскости. При изучении вопроса об изображении пространственных фигур возможно рассмотреть параллельное и центральное проектирование и его свойства на первых уроках стереометрии как примеры параллельного переноса и гомотетии с опорой на знания, полученные школьниками при рассмотрении данных вопросов в основной школе. При изучении многогранников рассматриваются симметрии многогранников, при изучении фигур вращения — повороты и комбинации движений, выполняются практические работы (построение образов фигур). Для этих целей мы рекомендуем использовать наборы задач из учебника А. Д. Александрова, примеры которых приведены ниже.

Задача 18.1.

Пусть ABCDABC^D — куб. Перенос задается вектором В?), где точка О — центр куба. Нарисуйте образы всех вершин куба и образ самого куба. Нарисуйте объединение и пересечение исходного и полученного кубов.

Задача 18.2.

Дан правильный тетраэдр. Нарисуйте тетраэдр, который получится из данного тетраэдра центральной симметрией относительно середины высоты. Нарисуйте объединение и пересечение исходной и полученной пирамид.

Выполните аналогичное задание для правильной четырехугольной пирамиды.

Задача 18.3.

Дана правильная треугольная призма. Для каждой ее вершины строится центрально-симметричная точка относительно середины высоты призмы, проходящей через центры се оснований. Нарисуйте многогранник, являющийся объединением исходной и полученной призм.

Задача 18.4.

Пусть ABCA_fB_tC_t — правильная призма с равными ребрами. Нарисуйте многогранник, симметричный ей относительно плоскостей АСС_Г

Прямоугольник вращается вокруг: а) диагонали; б) прямой, параллельной диагонали и проходящей: 1) через его вершину; 2) вне его. Нарисуйте полученное при этом тело вращения. Комбинацией каких известных вам тел оно является?

Естественно, что учитель может предложить ученикам самостоятельно составить аналогичные задачи и решить их.

Теоретические сведения о движениях и преобразованиях могут быть рассмотрены обзорно в логике учебника А. Д. Александрова (1983), а в классах с углубленным изучением математики — по соответствующему учебнику.

Как и в планиметрии, обзор различных преобразований и их свойств может быть организован на основе докладов учеников, сопровождаемых рисунками, моделями, компьютерной анимацией. Рисунки, как и теоретический материал для докладов, могут быть также заимствованы из учебника А. Д. Александрова.