Упражнение по теории субъективной ожидаемой полезности

Пусть ожидаемый исход лотереи равен 0, и ваше богатство равно 5. Приняв участие в лотерее, вы либо потеряете 5, либо выиграете 5, и ваше богатство составит либо 0 (5 — 5), либо 10 (5 + 5). Тогда полезность этих результатов U и ожидаемая полезность E (U) равны:

Ожидаемое богатство, в отличие от ожидаемой полезности, составит имеющееся богатство плюс ожидаемый результат лотереи, а именно 5 (5 + 0). Полезность ожидаемого результата, полученного с определенностью (5), обычно выше ожидаемой полезности участия в справедливой лотерее (0 или 10 с равной вероятностью).

Еще пример. В ТСОП решения предстают как выбор между альтернативами, имеющими либо достоверные итоги, либо множество возможных итогов с неизвестным финалом (как в лотерее). Итогам приписываются стоимости (полезности) и вероятности (веса решений).

Выбор между (1) вложением 1000 руб. в 1-летнюю 5%-ную безрисковую облигацию и (2) покупкой на 1000 руб. паев фонда акций на год можно представить как выбор между (1) достоверными 1050 руб. через год и (2) 2000 руб. с вероятностью 50% через год (выигрыш) или 500 руб. с вероятностью 50% через год (потеря). Homo economicus сравнивает U(Облигация) = и(1050) с 1/(Паи) = 0,50-п (2000) + 0,50-п (500) = 1250 и выбирает вариант с наибольшей стоимостью, а именно второй.

Вспомним допущение 5 модели поведения homo economicus. Он постоянно и корректно дисконтирует деньги из будущего, например, дивиденды на принадлежащие ему акции, и, следовательно, ведет себя так, как будто максимизирует.

где E[[/(X_S)] — ожидаемая полезность акций в период s; (3 — постоянный фактор дисконтирования.

Пусть р = 5%. Homo economicus дисконтирует все полезности и выбирает вариант с максимальной приведенной (текущей) стоимостью. Если бы имелся третий вариант — получить 1750 руб. наверняка через 10 лет по долгосрочной облигации, то homo economicus выбрал бы его, так как 1/(Облигация) = (1−1750)/1,05¹⁰ *2850.

1бб.

Арбитраж валютной пары

Известный еще как пространственный, локационный и двухточечный, арбитраж валютной пары возникает, когда курс обмена одной валюты на другую не одинаков в двух финансовых центрах. Он возможен как на наличном, так и на форвардном рынке. Рассмотрим арбитраж на наличном рынке.

Валютный рынок — это глобальный децентрализованный рынок. Главные игроки — крупные международные банки. Международные финансовые центры — «якоря», удерживающие круглосуточную торговлю между разными типами участников рынка. «За кулисами» участники рынка обращаются к немногим финансовым фирмам, известным как дилеры. Дилеры — воротилы валютной торговли. В большинстве своем это банки. Междилерские сделки очень крупные, достигают сотен миллионов долларов. Для большинства сделок отсутствует единый или центрально клирингуемый рынок вроде биржи. Вместо биржи — несколько взаимосвязанных «площадок» для дилеров, торгующих разными валютными инструментами, поэтому у одной валюты несколько обменных курсов (котировок). Но в силу арбитража курсы близкие. Из-за господства Лондона котируемая цена обычно лондонская (табл. 1).

Таблица 7.

Крупнейшие игроки на глобальном валютном рынке.

Арбитраж обычно определяется как «акт одновременной покупки и продажи одного и того же актива или эквивалентных активов с целью получения верной, гарантированной прибыли»^[1]. Palgrave Dictionary определяет арбитраж как «инвестиционную стратегию, которая гарантирует положительную отдачу без возможной отрицательной отдачи и чистых инвестиций». Эти определения и некоторые их версии наделяют арбитраж следующими свойствами:

• • отсутствием риска;
• • отсутствием необходимости чистых инвестиций;
• • отсутствием необходимости использовать собственный капитал;
• • одновременностью сделок купли-продажи.

По мнению Имада Музы, эти свойства сомнительны, а определения не носят характер родовых. Хотя термин «арбитраж» обозначает различные операции, родовое определение возможно. Оно должно базироваться на двух характеристиках, которые присущи всем арбитражным операциям. Это, во-первых, использование ценовых аномалий на одном или нескольких рынках и, во-вторых, нарушение условия ценового равновесия как спусковой крючок операции.

В случае двухвалютного арбитража это условие — равенство обменных курсов в финансовых центрах. Арбитраж восстанавливает равновесие, меняя баланс спроса и предложения на двух рынках. Поэтому приемлемым родовым является следующее определение: «Арбитраж — операция, совершаемая ради получения прибыли и нацеленная на использование ценовых аномалий, возникающих из-за нарушения условия ценового равновесия"Т Такое определение ничего не говорит об отсутствии риска, использовании собственного капитала или одновременных покупках и продажах. Оно ближе всего к родовому определению арбитража. Приведенные ниже задачи основаны на примерах из работы Музы^1[2][3].

Задача 1. Пусть имеются финансовые центры, А и Б, валюты х и у. Брокерская комиссия, дилерский bid-ask спрэд, налоги и прочие трансакционные издержки равны нулю. Пусть S (x/y) — цена единицы у в единицах х. Тогда арбитраж валютной пары инициируется при условии, что.

т. е. курс обмена х на у имеет разные значения в двух центрах в одно и то же время. Для упрощения опустим единицы измерения (х/у). Важно, однако, помнить, что курс — это цена единицы у (S (x/y)), а не наоборот.

Требуется разработать арбитражную стратегию, если условие S_A(x/y)^S_B(х/у) нарушается следующим образом: S_A>S_B, т. е. валюта у дешевле в Б, чем в, А (или валюта х дешевле в А).

Решение. Купить валюту у в Б (там дешевле) и продать ее в, А (там дороже).

Задача 2. Условия аналогичны условиям задачи 1.

Требуется рассчитать арбитражную прибыль п.

Решение. Прибыль есть разность курса продажи и курса покупки: тг = 5_А — •.

Задача 3. Ниже дана графическая иллюстрация влияния арбитража на баланс спроса и предложения, а значит, и на обменный курс в двух центрах. С ростом спроса в Б на у S_B растет, а с ростом предложения в, А на у S_A падает, арбитражная прибыль таким образом сокращается, пока не достигнет нуля. Восстанавливается безарбитражное равновесие курсов: S_A — S_B.

Требуется дорисовать рис. 1 для ситуации в, А (правее оси S (x/y)).

Рис. 1. Влияние арбитража на баланс спроса и предложения у в двух центрах.

Решение.

Рис. 2. Влияние арбитража на баланс спроса и предложения у в двух центрах.

Задача 4. Итак, арбитраж восстанавливает равновесие S_A-S_B, меняя баланс спроса и предложения.

Требуется нанести на рис. 3:

• • линию безарбитражных цен S_A=S_B;
• • точку, указывающую на нарушение в форме S_A>S_B;
• • точку, указывающую на нарушение в форме S_AB;
• • точки на линии, где сближаются S_A и S_B под влиянием арбитражных сделок.

Показать стрелками, как и где сближаются S_A и S_B под влиянием арбитражных сделок.

Рис 3. Линия безарбитражных цен.

Решение. Точка над линией указывает на нарушение в форме S_A > S_B (рис. 4). Арбитраж вызывает сближение с линией через рост S_B, снижение S_A или (что вероятнее) одновременное встречное движение курсов. Точка ниже линии указывает на нарушение в форме S_A < S_B. Арбитраж вызывает сближение с линией путем снижения S_B, роста S_A или (что вероятнее) одновременного изменения курсов до S_A=S_B.

Задача 5. Добавим теперь в расчет прибыли фиксированную брокерскую комиссию с обеих сторон сделки (3_А и р_в, причемр_А = р_в. Пусть арбитражер покупает валюту у в Б и продает ее в А.

Требуется обновить формулу расчета прибыли арбитражера п, записать условие прибыльного арбитража и безарбитражное условие.

Прибыль с учетом комиссионных: n = S_A -S_b -(Р_А +Р_В).

Условие прибыльного арбитража: S_A -S_B >(Р_А +р_Б).

Безарбитражное условие: S_A -S_B + (Ра + Рб);

Рис 4. Линия безарбитражных цен.

• [1] Еип С., Resnick В. International Financial Management. Boston: Irwin: McGraw-Hill, 1998. P. 104.
• [2] Moosa I. A. International Financial Operations: Arbitrage, Hedging, Speculation, Financing and Investment. Palgrave MacMillan, 2003. P. 64.
• [3] Moosa I. A. International Financial Operations: Arbitrage, Hedging, Speculation, Financing and Investment. Palgrave MacMillan, 2003.