Метод начальных параметров

Метод начальных параметров — это способ решения дифференциальных уравнений, при котором неизвестными параметрами являются значение функции и ее производных в начале координат. Для уравнения упругой линии это будут прогиб и угол поворота в начале координат на левом конце балки. Для балки с несколькими участками, для того чтобы произвольные постоянные интегрирования на всех участках были равны, надо, чтобы слагаемые уравнения изгибающих моментов не менялись при переходе от одного участка к другому. Для этого используют два приема:

• • момент пары сил умножают на фиктивное плечо в нулевой степени: М = М₀(х—а_т)°;
• • распределенную нагрузку принимают действующей до конца балки. А чтобы не нарушить условия нагружения, в сечении, где заканчивается реальная нагрузка, прикладывают равную по величине распределенную нагрузку противоположного направления, также действующую до конца балки:

Рассмотрим балку длиной /, нагруженную парой сил Л/₀, силой F и распределенной нагрузкой интенсивностью q (рис. 7.14). Расстояния от левого конца балки до нагрузок Л/₀, F, q обозначим соответственно a_nr a_F, a_q — до начала распределенной нагрузки, Ь_({ — до конца распределенной нагрузки. Начало координат возьмем на левом конце балки. Для сечения, взятого на последнем участке балки, уравнение изгибающего момента имеет вид.

Интегрируя это уравнение, получаем уравнение углов поворота сечений:

Уравнения для других участков, согласно определению изгибающего момента, должны включать только слагаемые от нагрузок, находящихся по одну сторону (слева) от рассматриваемого сечения.

Определим смысл произвольных постоянных. Прил;=0 Е/.0_О = С; EJ_zu_}<) = Z), откуда 0_О = C/EJ_Z; = D/EJ_V где и 0_О — прогиб и угол поворота сечения балки в начале координат.

В общем виде для случая действия любого количества нагрузок уравнение упругой линии балки принимает вид.

Интегрируя еще раз, получаем уравнение прогибов балки:

Рис. 7.14. Условная схема нагружения бачки при изгибе.

Это уравнение называется универсальным уравнением упругой линии балки или уравнением Крылова. Оно составлено с учетом распределенной нагрузки постоянной интенсивности q. Если используется распределенная нагрузка переменной интенсивности q (x) надо добавить слагаемые, содержащие первую, а если надо, то и вторую производную от q (x).

Правила пользования уравнением Крылова

• 1. Начало координат всегда на левом конце балки. В этом случае знаки прогиба и угла поворота сечения совпадают, в противном случае знаки противоположны.
• 2. Составить уравнение Крылова для последнего участка балки. Уравнение для произвольного сечения балки должно включать в себя только слагаемые от нагрузок, находящихся слева от рассматриваемого сечения. Желательно записывать нагрузки в том порядке, в каком они стоят на балке, соблюдая форму записи, приведенную в уравнении (7.15).
• 3. Уравнение углов поворота сечений получают из уравнения прогибов путем дифференцирования.
• 4. Знак перед каждым слагаемым соответствует знаку изгибающего момента отданной нагрузки.
• 5. Начальные параметры и 0_О определяют из граничных условий (рис. 7.15).

Рис. 7.15. Граничные условия для определения перемещений банки при изгибе