Связь напряжений и деформаций. 
Обобщенный закон Гука

В предыдущих главах уже рассматривалась связь напряжений и деформаций при простых видах упругой деформации. Теперь надо установить такую связь в общем случае нагружения. Напомним закон Гука при растяжении и при сдвиге. При растяжении (рис. 9.10, а) о_х= Ег_х. В продольном направлении е_л. = о_л./?, в поперечном — c_v = ?_z = — = -p (o_x/?). Линейная деформация не вызывает сдвига.

Прямые углы в растянутом элементе остаются прямыми.

При сдвиге (рис. 9.10, б) т_ху = Gy_xy, откуда угол сдвига у_ху = т._xy/G. Сдвиг не вызывает линейной деформации. Размеры элемента при сдвиге не меняются, так как упругий сдвиг мал.

Рис. 9.10. Линейная и угловая деформации.

В общем случае нагружения шесть компонент напряжений вызывают появление шести компонент деформации. Каждое напряжение вносит свой вклад в каждую деформацию. На основании принципа независимости действия сил.

где Bjj — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом податливости. Запишем последнее выражение в упорядоченном виде (табл. 9.1).

Таблица 9.1. Связь напряжений и деформаций.

От нормальных напряжений возникает удлинение в продольном направлении и сужение в поперечном. Нормальные напряжения не вызывают сдвига. Ог каждой пары касательных напряжений возникает сдвиг в одной плоскости и не возникает удлинений. Каждую строчку таблицы запишем как сумму слагаемых (деформаций):

Выражения (9.5) представляют собой обобщенный закон Гука для общего случая нагружения тела.