Вероятностное представление случайных величин и процессов
![Реферат: Вероятностное представление случайных величин и процессов](https://gugn.ru/work/6572282/cover.png)
Одномерная плотность вероятности (или одномерная функция распределения) и связанные с ней различные характеристики позволяют получить весьма важную информацию о свойствах случайного процесса. Для решения же многих практических задач техники связи таких сведений часто недостаточно, так как они дают вероятностное представление о случайном процессе X (t) только в отдельные моменты времени и ничего… Читать ещё >
Вероятностное представление случайных величин и процессов (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
В теории сигналов исследуемый случайный процесс представляют бесконечным множеством некоторых временных функций. Рассмотрим случайный процесс (для наглядности — низкочастотный), состоящий из множества случайных сигналов х,(0> x2(t),…, xh(t),…, называемых реализациями случайного процесса (рис. 3.2), и аналитически описываемый некоторой обобщающей его случайной функцией X (t). Совокупность всех реализаций случайного процесса называют ансамблем (рис. 3.2, а). Ансамбль реализаций — модель анализируемого процесса, по конкретные реализации (см., например, k-io реализацию на рис. 3.2, б) представляют физические объекты и входят в ансамбль как его неотъемлемая часть.
Типичными примерами случайных процессов в связи являются тепловые шумы в пассивных и активных элементах, действием которых сопровождается работа всех устройств. Реализацией случайного процесса является зафиксированный осциллографом отрезок развития во времени случайного напряжения. Ансамблем реализаций случайного процесса яв;
![Реализации случайного процесса.](/img/s/8/24/1483624_1.png)
Рис. 3.2. Реализации случайного процесса:
а — ансамбль; б — k-я реализация ляется группа сигналов, наблюдаемых одновременно на выходах идентичных генераторов шумового напряжения. Отдельную реализацию случайного процесса трудно описать явной формулой. Но поскольку конкретный вид реализации (например, принятый сигнал в системе связи) позволяет определить практически все ее параметры (измерить амплитуду, оценить частоту изменений мгновенных значений и т. д.), то она является уже детерминированным сигналом.
Отметим на рис. 3.2 момент времени t = ?,. Значения, принимаемые конкретными реализациями ансамбля в момент времени ?, образуют совокупность случайных величин ж,(?,), х2(?,), …, xk(tx), которую обозначим X (f,). Совокупность X (tt) называют сечением случайного процесса.
Аналитическое описание случайных процессов определяется основными статистическими характеристиками, к которым относятся одно-, двуи многомерные интегральные и дифференциальные функции распределения, числовые характеристики (среднее значение, дисперсия и др.), спектральные и корреляционные функции. Однои двумерные функции распределения позволяют найти наиболее вероятные значения параметров случайных процессов, а многомерные функции распределения дают возможность получить практически полную информацию о случайном процессе.
Одной из важных одномерных характеристик случайной величины Х (?,) является интегральная функция распределения (по-другому — функция распределения вероятности или, проще, — функция распределения) F (x). Численно эта функция определяется как вероятность того, что все значения случайной величины Х (?,) не превышают некоторого заданного уровня х:
![Вероятностное представление случайных величин и процессов.](/img/s/8/24/1483624_2.png)
где Р — символ, отражающий вероятность.
Основные свойства интегральной функции распределения вероятности следующие:
- • для случайной величины Х (?,), имеющей любые вещественные значения, функцию распределения определяют на интервале 0 < F (x) < 1 при
- —оо <�х<
- • функция распределения F (x) не уменьшается при возрастании аргумента х;
- • для интегральной функции распределения F (x) случайного процесса справедливо равенство Р (х< X < х2) = Р (х2) — Р (х{).
Если случайная величина X (^1) является непрерывной во времени, то часто вместо функции распределения удобнее пользоваться ее производной.
![Вероятностное представление случайных величин и процессов.](/img/s/8/24/1483624_3.png)
получившей название одномерной плотности распределения вероятности (или, проще, плотности вероятности).
Зададим некоторый интервал (а, Ь) изменения мгновенного значения х случайного процесса (см. рис. 3.2). Тогда из формулы (3.1) следует, что плотность вероятности
есть вероятность попадания случайной величины X (t{) в заданный интервал.
Пусть параметр а —* °°, а b принимает текущее значение переменной х (рис. 3.2, а). В этом случае интегральная функция распределения примет вид.
![Вероятностное представление случайных величин и процессов.](/img/s/8/24/1483624_5.png)
Следует отметить, что одномерная плотность вероятности — всегда неотрицательная величина и удовлетворяет условию нормировки.
![Вероятностное представление случайных величин и процессов.](/img/s/8/24/1483624_6.png)
Это соотношение можно трактовать следующим образом: площадь под кривой плотности вероятности р (х, ?,) всегда равна единице. На рис. 3.3 в качестве наглядного примера приведены графики распространенной функции плотности вероятностей р (х) = ехр (|х|) и соответствующей интегральной функции распределения F (x).
![Графики функцийр(х) = ехр(-|х|) и соответствующей F(x).](/img/s/8/24/1483624_7.png)
Рис. 33. Графики функцийр (х) = ехр (-|х|) и соответствующей F (x).
Одномерная плотность вероятности (или одномерная функция распределения) и связанные с ней различные характеристики позволяют получить весьма важную информацию о свойствах случайного процесса. Для решения же многих практических задач техники связи таких сведений часто недостаточно, так как они дают вероятностное представление о случайном процессе X (t) только в отдельные моменты времени и ничего не говорят о том, как он изменяется в широких интервалах времени. Поэтому для описания его временных характеристик необходимо использовать корреляционную функцию или привлечь для этого спектральные характеристики случайного процесса.
Достаточно исчерпывающей характеристикой случайного процесса служат «-мерная плотность вероятности p{xv…, хк; tv…, tri) и «-мерная функция распределения F (x), полученная для к реализаций в п фиксированных моментах времени tv t2,…, tn. Многомерные плотности вероятности используют редко, поскольку они сложны и требуют для определения и обработки много экспериментальных данных. В прикладных задачах статистической теории связи наряду с одномерной применяют двумерную плотность вероятности p (x (t{), x (t2)). Для ее определения надо располагать двумя сечениями случайного процесса X (t2), полученными в моменты времени tx и t2 (см. рис. 3.2).