Главные направления осей тензора. 
Главные значения тензора. 
Инварианты тензора

1. Рассмотрим какой-либо тензор П и пусть П, А = В.

Если вектор В коллинеарен (расположен на одной прямой или параллельных прямых) вектору А, т. е. вектор А после преобразования изменяет только свою величину, не изменяя направления, то направление вектора А называется главным направлением тензора. Если при этом В = АЛ, то величина Я называется главным значением тензора. Оно показывает, во сколько раз тензор увеличивает векторы, направленные по главным осям тензора; направление таких векторов тензор не меняет. Мы воспользуемся этой коллинеарностью векторов А и В = П А для отыскания главных значений и главных осей тензора.

Итак, пусть тензор задан в некоторой системе координат своими компонентами ри и пусть вектор А имеет главное направление, которому отвечает главное значение Я, тогда по определению.

что равносильно трем уравнениям:

Получились три линейных однородных уравнений относительно А_у А2у Аз. Эта система может иметь решение, отличное от нуля при равенстве нулю определителя:

Из полученного кубического уравнения определяем Я, а из системы (2.22) — А: Аг: Лз, т. е. главное направление тензора, отвечающее корню Я уравнения (2.23).

2. В случае симметричного тензора П (р*,⁼ /?/*; к, 1 = 1,2,3) с поверхностью, описываемой уравнением:

причем указываем, что эта поверхность не зависит от выбора координат. Но известно, что это уравнение (2.24) можно привести к виду:

с помощью выбора новых осей координат х_х, х₂, х₃ .

Таким образом, в этой новой системе координат все элементы тензора, кроме диагональных, обращаются в нуль и сам тензор принимает простейший вид В соответствии с этим преобразование вектора В = П • А будет иметь весьма простой вид:

Очевидно, что для симметричного тензора направления осей х_х, х₂ и Зс₃ являются главными направлениями, а величины Л, и Я,-главными значениями.

Таким образом для симметричного тензора существуют три главных направления и три главных значения, так что уравнение (2.23) имеет при ркГ Pik три вещественных корня.

3. Возвращаясь к общему тензору Я, развернем кубическое уравнение (2.23) по убывающим степеням главного значения Я :

Мы знаем, что корни этого уравнения, Л, и А, не должны зависеть от выбора системы координат. С другой стороны, известны соотношения между корнями и коэффициентами уравнения:

Поэтому величины I, h и /3 не изменяются при преобразовании координат. Эти величины называются инвариантами тензора. При помощи этих инвариантов можно составить бесчисленное множество других инвариантов. Так, например, инвариантом является величина.

Составляя инвариант /1 для производного тензора —, получим:

dr

Те тензоры, у которых инвариант 1 обращается в нуль, называются девиаторами.

Образуем еще инвариант 1 для тензора П=АВ> являющегося произведением двух тензоров А и В. Для определения этого тензора используем формулы (2.19):

поэтому инвариантом 1 для тензора Я будет выражение: которое целесообразно называть бискалярным произведением тензоров А и В. При В = А это выражение аналогично выражению (2.25).