Теория упрочнения. 
Механика деформируемого твердого тела

В теории упрочнения предполагается, что при фиксированной температуре существует зависимость между деформацией ползучести, ее скоростью и напряжением:

Заметим, что, в отличие от первых двух теорий, в основном уравнении этой теории время в явном виде не содержится.

Наиболее распространенным является степенной вариант теории упрочнения, согласно которому основное уравнение этой теории записывается в виде где a, b, С — функции только температуры, определяемые по кривым ползучести.

Из этой формулы очевидно, что при постоянном напряжении по мере увеличения деформации ползучести ее скорость уменьшается, материал становится как бы более прочным (менее податливым), отсюда и название теории — теория упрочнения.

Найдем выражение деформации ползучести как функции напряжения и времени.

Для этого соотношение (4.22) перепишем следующим образом:

Рассмотрим случай, когда напряжение и температура постоянны во времени. Тогда, интегрируя это уравнение при условии, что е_и(? = 0) = 0, получим выражение для деформации ползучести.

Рассмотрим теперь условия применимости степенного варианта теории упрочнения и методику определения материальных констант а, b и С на примере стали 40Х14Н14В2М, кривые ползучести которой при температуре 1093 К приведены на рис. 4.5.

Прологарифмируем выражение (4.24), тогда.

Из этого выражения ясно, что при заданной температуре в координатах «lgе_п — lgt» при фиксированных значениях напряжений и в координатах «lge» — lga" при фиксированных значениях времени должны получаться параллельные прямые, если в рассматриваемых режимах нагружения а, b и С в действительности являются константами материала.

Па рис. 4.11 и 4.12 точками показаны значения lge_M, найденные по экспериментальным кривым ползучести (см. рис. 4.5), а сплошными параллельными прямыми — их возможная аппроксимация. Ясно, что с достаточно большой степенью точности она возможна, что свидетельствует о правомерности применения степенного варианта теории упрочнения.

С помощью этих рисунков находим tga и tg (3. Из формулы (4.25) следует, что tga = 1/(1 + а) и tgP = b/{ 1 + а). Таким образом, получаем следующие значения первых двух констант:

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Определим теперь числовое значение константы С. Из формулы (4.25) находим

Зная а и Ь, по этой формуле вычисляют значения lgС, а затем и С при напряжениях 20, 25, 30 МПа и времени 10, 20, 30, 40, 100 ч. Полученные 15 значений осредняют и находят С = 10 ¹⁷⁶⁶ МПа ⁸⁸²⁹-ч Таким образом, деформации ползучести стали 40Х14Н14В2М при температуре 1093 К в рассматриваемом диапазоне изменения напряжений и времени вычисляются по формуле.

На рис. 4.13 кружками показаны экспериментально найденные деформации ползучести рассматриваемой стали, а сплошными линиями — рассчитанные по приведенной формуле кривые ползучести. Как очевидно, совпадение вполне удовлетворительное.

Рис. 4.13.

На рис. 4.14 показаны кривые ползучести, рассчитанные, но формуле (4.24) при постоянном и стуненчато-неременном напряжениях.

Рис. 4.14.

Теперь рассмотрим в рамках этой теории процесс релаксации напряжения. Допустим, что в момент времени t = 0 стержень мгновенно продеформирован и деформация г = ст (/ = О)//; зафиксирована.

В последующие моменты времени напряжение будет уменьшаться. Выведем эту зависимость напряжения от времени.

По определению полная деформация в произвольный момент времени равна Мгновенная деформация определяется величиной действующего в данный момент времени напряжения, поэтому в силу формулы (4.27) будем иметь о (0)/Е = а/Е + е_п(ст, t), или.

Подставим это выражение в формулу (4.23), тогда.

Проинтегрировав это равенство с учетом того, что при t = 0 о = а (0), получим.

Предположим, что стержень из стали 45Х14Н14В2М нагрет до температуры Т = 1093 К. Модуль упругости материала при этой температуре Е = = 3−10⁴ МПа, предел текучести ст_т = 300 МПа.

Пусть в начальный момент времени (t = 0) стержень мгновенно продеформировали до деформации ?₀ = 10 ³ и затем эта деформация поддерживается постоянной. Этой деформации соответствует напряжение а (0) = ?е₀ = = 30 МПа.

При, а = а (0) интеграл обращается в нуль и в силу равенства (4.28) время также должно быть равно нулю.

Зададимся напряжением, а = 28 МПа и вычислим интеграл, поделив который на СЕ'*^а, найдем время, соответствующее принятому значению напряжения. Поступая аналогичным образом, установим зависимость между напряжением и временем, определяющую процесс релаксации напряжения при фиксированной деформации е₀ = 10 ³. На рис. 4.15 приведена эта кривая релаксации.

Рис. 4.15.

Пример 4.2. Балка, показанная на рис. 4.16, изготовлена из стали 45Х14Н14В2М и нагрета до температуры Т = 1093 К.

Определить величину ее максимального прогиба к 80-му часу после нагружения, если d = 10 мм, h = 20 мм, L = 200 мм, М = 10 000 Н? мм. В расчетах принять Е = 3 • 10' МПа, о, = 300 МПа.

Рис. 4.16.

Решение. В момент нагружения (t = 0) максимальное нормальное напряжение в балке будет равно ст_тал.= M/W = 14,9 МПа. Оно меньше предела текучести материала при заданной температуре, и поэтому is начальный момент времени балка деформируется упруго, нормальные напряжения линейно меняются, но высоте поперечного сечении, а максимальный прогиб рассчитывается по формуле

Рис. 4.17.

В произвольный момент времени (t > 0) прогиб будет складываться из начального значения и прогиба, обусловленного ползучестью материала (рис. 4.17):

Считая справедливой гипотезу плоских сечений, запишем выражение для деформации ползучести произвольного слоя балки в виде.

где z — расстояние рассматриваемого слоя от нейтрального: k_n — изменение кривизны балки за счет деформации ползучести.

Подставляя выражение (4.30) в исходное соотношение теории упрочнения (4.22), получим следующее выражение для нормального напряжения:

С учетом этого уравнения равновесия части балки, расположенной левее сечения с координатой «х» (см. рис. 4.17), запишутся в виде.

h/2.

где J = d | z⁽-^l*^a+b)dz — приведенный момент инерции поперечного сечения.

-h/2

относительно нейтральной оси, которая в прямоугольном поперечном сечении проходит через его центр тяжести и совпадает с осью у.

Из формулы (4.32) следует, что.

Интегрируя это уравнение при условии k_n(t =0) = 0, получим.

Будем предполагать, что прогибы малы, тогда k = —f и, учитывая форму;

ах^г

лу (4.33), будем иметь В рассматриваемом случае чистого изгиба правая часть этого уравнения является функцией только времени. Интегрируя его дважды по х при граничных условиях v_a(x = 0) = v_n(x = L) = 0, получим выражение для v_tt(x, t).

В частности, его максимальное значение в произвольный момент времени равно.

На рис. 4.18 показан рост во времени полного прогиба в среднем сечении балки.

Таким образом, к 80-му часу после нагружения балки прогиб в среднем сечении составляет 1,52 мм.

На рис. 4.19 приведены эпюры нормальных напряжений по поперечному сечению балки в момент нагружения а (/ = 0) и в произвольный момент времени 0).

Анализируя эти эпюры, заключаем, что в процессе ползучести нормальные напряжения перераспределились, их зависимость от координаты стала нелинейной, а максимальное значение оказалось меньше, чем в момент нагружения.

Рис. 4.18.

Рис. 4.19