Действия над событиями

Для наглядного изображения событий используют диаграммы Эйлера — Вснна. На каждой такой диаграмме прямоугольником изображают множество всех событий, а подмножества — окружностью или овалом внутри него (рис. 2.1). На рис. 2.1 заштрихованы области, которые соответствуют событиям, являющимся результатами операций, описанным далее.

Объединением (суммой) событий А и В называют событие С, состоящее из элементарных событий, принадлежащих событию А или В. Объединение событий А и В записывают в виде.

Например, объединением числового отрезка [2,6] и числового отрезка [4,9] является числовой отрезок [2,9]. При этом точки отрезка [4,5,6] входят в оба отрезка, но в объединении их берут только один раз. Если А — множество точек первого круга на рис. 2.1, а, В — множество точек второго круга, то объединением является множество точек заштрихованной фигуры.

Пересечением (произведением) событий А и В называют событие С, которое благоприятствует и событию А, и событию В (рис. 2.1, б). Пересечение событий А и В записывают следующим образом:

Например, если А — множество мальчиков, обучающихся в данной школе, а В - множество всех учеников из 8-го класса, то А п В — множество мальчиков, которые учатся в 8-м классе. Если А — множество точек первого круга (рис. 2.1, б), В — множество точек второго круга, то пересечением С является множество точек заштрихованной серповидной фигуры.

События А и В называют несовместными, если их пересечение (пустое событие) является невозможным событием (рис. 2.1, в).

Разностью событий А и В называют событие С, состоящее из элементарных событий А, которые не являются элементарными событиями В. Разность событий записывают в виде.

Пусть имеются множества А = {1,2,5,7} и В = {1,3,5,6}. Тогда АВ = {2,7}, а? Л = {3,6}. Если А — множество точек круга на рис. 2.1, г, В — множество точек овала, то разностью событий АВ является множество точек заштрихованной фигуры. При этом точки дуги MN удаляются из фигуры.

Дополнением события А называют событие (обычно обозначают А), происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А. Например, дополнением множества четных чисел в множестве всех целых чисел является множество нечетных чисел. Событие А изобразим в виде круга внутри прямоугольника (рис. 2.1, г)). Оставшаяся часть прямоугольника изображает дополнение событию А — событие А.

Приведем еще пример. Пусть А есть отрезок [1,3], В - отрезок [2,4]; тогда объединением А и В, будет отрезок [1,4], пересечением Ап В- отрезок [2, 3], разностью АВ- полуинтервал [1,2), разностью ВА — полуинтервал (3,4].

Рис. 2.1. Представление событий А и В в виде диаграммы Эйлера — Венна: а — объединение; б — пересечение; в — несовместные; г — разность; д — дополнение события А.

Пример 2.1. Взятый наугад инвалид может оказаться либо первой (событие А), либо второй (событие В), либо третьей (событие С) группы. Что представляют собой следующие события:

А + В; А+С; АС; АВ + С?

Решение. А + В — это событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В, т. е. событие А + В — инвалид первой или второй группы. Так как А + С — инвалид первой или третьей группы, то противоположное ему событие А+С — инвалид второй группы. Событие АС является невозможным событием, поскольку инвалид не может быть одновременно в категории первой и третьей группы. Событие АВ + С как сумма невозможного события А В и события С равно С, следовательно, АВ + С — инвалид третьей группы.