И. 2. Моделирование полей по методу электрических сеток

Моделирование полей с помощью электрических сеток представляет собой метод экспериментального исследования полей, подчиняющихся уравнению Пуассона, путем измерения потенциалов узлов электрической сетки, которой заменяется сплошная среда. Положим, что требуется выяснить распределение потенциалов в некоторой области (сплошной среде), потенциалы границ которой заданы Кроме того, известны электрическая или соответственно магнитная проницаемость среды, а также плотность распределенных источников в исследуемом поле (например, плотность свободных зарядов р_смб в моделируемом электрическом поле).

Исследуемое поле заменим полем в проводящей среде с проводимостью у. Моделируемую область разделим на элементарные объемы, например на кубы Каждый элементарный объем заменим электрической схемой замещения в соответствии с рис. И.1, в

Пусть ребро куба имеет длину 2 а Центр куба обозначим цифрой 0, а точки, лежащие в серединах его граней, — цифрами /-б. Шаг сетки в направлении осей х. у, г обозначим Ах, Ду, Дг (Дх = Ду = Дг = а). Проводимость между любой из точек /-б и центральной точкой 0 — g-y-2a 2 ala = 4 у а.

К узлу 0 от источника тока подтекает ток /₀ = 2 6(х, у, z) а³. К остальным узлам, не показанным на рис. И.1, а, подтекают свои токи. Эти токи, подводимые в центры кубов, выполняют функции распределенных источников в исходном поле. Значения токов определяются по заданной плотности распределенных источников. По первому закону Кирхгофа сумма токов, подтекающих к узлу 0, должна быть равна нулю, т. е.

Потенциал точки О Потенциал точки /

Потенциал точки 2

Следовательно,.

Проделав аналогичные выкладки с остальными слагаемыми уравнения (И З), подставив в него выражение для /₀ и сократив на 4 я³, получим уравнение Пуассона.

Таким образом, распределение потенциалов в электрической сетке с точностью до частных производных четвертого порядка от <�р, умноженных на а²/{4!), удовлетворяет тому же уравнению, что и распределение потенциалов в сплошной среде.

Распределение потенциалов в узлах 0 элементарных объемов измеряется компенсационным способом.

Моделирование позволяет на относительно дешевой модели исследовать поля, с трудом или совсем не поддающиеся аналитическому расчету.

Приложение