Алгоритмы, использующие связи между измеряемыми величинами

Для контроля достоверности исходной информации и диагностики частичных отказов ИИК широкое применение нашли алгоритмы, использующие функциональные связи между измеряемыми параметрами. Например, как это уже отмечалось выше, эти связи могут быть выражены уравнениями регрессии, уравнениями энергетического или материального баланса.

Рассмотрим общую методику контроля достоверности результатов измерения п величин, связанных т уравнениями вида.

Погрешности измерений являются случайными величинами. Предположим, что они подчиняются нормальному закону распределения, имеют нулевое математическое ожидание и известную дисперсию of.

При подстановке истинных значений х- измеряемых величин в уравнения (4.24) они выполняются точно. Если же значения измеряемых величин имеют погрешности Длу, т. е.

то уравнения (4.24), при подстановке в них x_j9 не будут выполняться, т. к. функции fj (X + АХ) не будут равны нулю:

где /_у — невязка выполнения у-го уравнения связи (4.24), вызванная погрешностями измерений.

Полагая функции /)(Х) непрерывными и дифференцируемыми по всем аргументам, разложим эти функции в ряд Тейлора по степеням А*:

При частичных отказах ИИК погрешности Ax_t- малы, и, следовательно, можно отбросить нелинейные составляющие ряда как величины более высокого порядка малости по сравнению с линейными составляющими. С учетом (4.24)

Подстановка уравнений (4.27) в (4.25) дает: dfj{X)

где а.: = ——= const.

⁴ ас, Так как истинные значения параметров неизвестны, то расчет коэффициентов а_{ I проводят приближенно, используя измеренные значения параметров х,.

Система уравнений (4.28) позволяет определить оценки погрешностей измерений Ах,-, которые используют при контроле достоверности исходной информации и диагностике частичных отказов НИК.

Способ расчета погрешностей Ах, определяется соотношением между числом уравнений связи т и числом измеряемых параметров п. При равном числе т и п расчет значений Ад, осуществляется путем решения системы из т линейных уравнений (4.28) любым известным численным методом. Если число уравнений связи меньше числа измеряемых параметров, т. с. т < п, и принять допущение, что для п — т параметров результаты измерений можно считать достоверными, то число рассчитываемых оценок погрешностей уменьшается с п до т и рассматриваемая задача решается так, как и предыдущая. При неправомерности такого допущения общий подход к определению оценок Ахj при т < п заключается в решении задачи минимизации следующей функции цели.

при ограничениях (4.28). Весовые коэффициенты p_i в выражении (4.29) вводятся для учета различия в классе точности измерительных преобразователей и определяются следующим образом [10].

где к = const; а, — среднеквадратическая погрешность /-го ИП.

Для решения задачи нелинейного программирования (4.29) применяют метод неопределенных множителей Лагранжа.

Составим функцию Лагранжа.

где А., = const — множители Лагранжа.

Необходимое условие экстремума функции Лагранжа.

приводит к следующей системе т + п линейных уравнений.

Теперь число уравнений системы (4.30)—(4.31) равно числу неизвестных, и поэтому значения Дат, могут быть найдены с помощью любого известного численного метода решения системы линейных уравнений.

При найденных оценках погрешностей выполняется коррекция результатов измерений:

Среднеквадратичная погрешность откорректированных значений измеренных величин меньше среднеквадратичной погрешности измерений ИИК, причем увеличение точности оценок тем значительней, чем меньше разность п — т.

Схема алгоритма, использующего функциональные связи между измеряемыми параметрами и обеспечивающего контроль достоверности исходной информации, диагностику частичных отказов ИИК и коррекцию результатов измерений, представлена на рис. 4.11 [10].

Работа алгоритма начинается с ввода исходных данных в оперативную память УВМ: массивов результатов измерений значений параметров x_h допустимых погрешностей /* уравнений связи, допустимых величин погрешностей измерений Дт*, весовых коэффициентов (при п > т).

Затем в цикле по j осуществляется расчет погрешностей /? уравнений связи по выражению (4.25) и сравнение расчетных значений с наибольшими допустимыми значениями /*. При выполнении условия.

|/_у-|</* для всех уравнений связи, логическая переменная к сохраняет свое значение к = 0, происходит выход из алгоритма и все результаты измерений признаются достоверными. Если же условие /_у|</* не выполняется для какого-либо хотя бы одного уравнения связи, то делается вывод о наличии частичных отказов. Логическая переменная к принимает значение 1.

В следующих блоках схемы алгоритма (при к = 1) проводится расчет оценок Ах,-. В циклах по j и / определяются коэффициенты а- системы линейных уравнений (4.30)—(4.31). Решение этой системы дает искомые значения оценок погрешностей измерений Ах,.

В следующем блоке, в цикле по /, проверяется выполнение логического условия |Ах,-|< Ах*. При невыполнении этого условия, при какомлибо значении /, делается вывод о частичном отказе /-го канала НИК.

В конце схемы алгоритма осуществляется расчет откорректированных значений параметров и вывод результатов расчета на печать.

Пример Рассмотрим контроль достоверности результатов измерений расходов пара, поступающего из трех параллельно работающих источников на общую паровую магистраль [10]. На выходе каждого из них измеряется расход пара Z), (/' = 1, 2, 3). Расход пара D измеряется и в общей паровой магистрали расходомером более высокого класса точности.

Исходные данные:

• измеренные значения параметров.

• допустимая погрешность выполнения уравнения связи.

• допустимые погрешности измерения отдельных параметров.

• СКО погрешности измерений Согласно схеме алгоритма:

1. Уравнение материального баланса, определяющее функциональную связь между измеряемыми параметрами, имеет вид.

Найдем погрешность / выполнения уравнения (4.32)

Рис. 4.11. Схема алгоритма контроля достоверности исходной информации, диагностики частичных отказов и коррекции результатов измерений

Рис. 4.11. Продолжение

• 2. Проверка условия |/_у-| < I* приводит к выводу, что среди результатов измерений х₍ имеются недостоверные.
• 3. Уравнение (4.32) является линейным, т. е. коэффициенты ли-

п

неаризованного уравнения , — А*, =/. совпадают с коэффициентами.

/=1.

уравнения (4.32).

Определим весовые коэффициенты p_j9 необходимые для составления системы уравнений Лагранжа. Для заданных значений а,.

откуда

Теперь запишем систему уравнений Лагранжа.

Решение системы уравнений Лагранжа дает следующие результаты определения оценок погрешности измерений.

• 4. Проверим выполнение условия |Ах₇1 < Ах*. Оно не выполняется только для параметра D_y Следовательно, произошел частичный отказ этого ИИК.
• 5. Выполним коррекцию оценок значений измеряемых величин. Откорректированные оценки

удовлетворяют уравнению (4.32).