Синтез однофакторных моделей в многофакторную

Как следует из приведенных выше материалов, в условиях мультиколлинеарности в большей части случаев не удается построить приемлемую с позиций устойчивости оценок коэффициентов модель.

Но устойчивость модели, если ее и удается достичь, еще не означает того, что модель действительно описала вскрытые причинно-следственные связи и пригодна для прогнозирования.

Как мы показали в некоторых примерах, приведенных в предыдущих параграфах, очень часто приходится встречаться с ситуациями, когда коэффициенты перед переменными становятся отрицательными, хотя исследователю очевиден положительный вклад переменной в динамику результирующего признака. Здесь можно использовать способ синтеза одпофакторпых моделей в многофакторную, суть которого заключается в следующем.

Строится система однофакторных моделей, которые с разной степенью точности аппроксимируют результирующий показатель:

Левые части равенств равны друг другу, как равны друг другу правые части равенств этой системы. Сложим левые и правые части равенств, получим.

Группируя и разделив левую и правую части равенства на число моделей k, получим.

Таким образом, результирующий показатель описывается с помощью многофакторной модели такого вида:

Ошибка ее аппроксимации на каждом наблюдении равна.

Как видно, в этом случае почти всегда удается избежать ситуации, когда перед фактором, оказывающим положительное влияние на результат, в многофакторной модели оказывается знак «минус». Однако однофакторные модели в таком случае страдают от проблемы пропущенных переменных, поэтому определить истинный знак перед регрессором может быть крайне затруднительно. В ряде случаев исследователю потребуется самостоятельно вносить коррективы в то, с каким знаком должен быть учтен фактор в модели.

Пример Построим многофакторную линейную модель по данным табл. 4.5, используя метод синтеза однофакторных моделей в многофакторную (4.67).

Первая модель зависимости объема производства продукции от объема потребленной промышленностью электроэнергии, найденная с помощью МНК, имеет вид

Вторая модель, описывающая зависимость объема производства от величины основных производственных фондов региональной экономики, оцененная по данным этой таблицы с помощью МНК, имеет вид.

Третья модель, которая описывает зависимость объема регионального производства от численности занятых в промышленности, будет записана так:

Последняя однофакторная модель, необходимая для дальнейших построений, — это модель зависимости объема регионального производства от фонда оплаты труда:

Теперь легко построить общую многофакторную линейную модель:

или, в более удобном для использования виде:

Как видно, действительно получена многофакторная линейная модель, у которой все коэффициенты имеют более разумный экономический смысл, нежели у тех многофакторных моделей, которые были получены ранее в параграфе 4.3.

Многофакторная модель (4.67) формируется, исходя из предположения, что вклад каждого фактора, а, значит, и каждой однофакторной модели в общую дисперсию одинаков и равен 1 /к. Но если перед прогнозистом стоит задача построить многофакторную модель на основе синтеза однофакторных так, чтобы она лучше всего описывала прошлые значения, то естественно положить такое правило: модели с меньшей дисперсией ошибок учитываются в большей степени, а модели с большей дисперсией — в меньшей.

Тогда возникает необходимость вычисления весовых коэффициентов v_p которые следует задавать каждой однофакторной модели для их синтеза в многофакторную модель, но делать это необходимо так, чтобы каждый коэффициент был положителен и сумма этих весовых коэффициентов была равна единице:

Это требование является не обязательным, но очень удобным — тем самым определяется доля вклада каждой модели в общую вариацию прогнозируемого показателя.

С учетом весовых коэффициентов, модель (4.67) может быть представлена так:

Остается только найти эти весовые коэффициенты. Одна из наиболее простых формул для их расчета, при которой вес модели, имеющей максимальную дисперсию ошибок, является минимальным и имеет такой вид:

Здесь 2j— дисперсия ошибок]-й однофакторной модели, с помощью которой вычисляется суммарная дисперсия:

Вместо дисперсии ошибок с успехом можно использовать сумму квадратов отклонений модели. Тогда формула (4.76) примет вид.

к.

где sRSS = Yj RSS.

М

Пример Допустим, нам необходимо получить на рассматриваемых данных многофакторную прогнозную линейную модель синтезом однофакторных с учетом дисперсии ошибок каждой модели.

Вычислим дисперсии для каждой из построенных с помощью МНК однофакторных моделей. Для первой модели сумма квадратов отклонений равна 0,331, для второй модели RSS₂ = 0,0003, для третьей — Ш₃ = 0,0022, для четвертой — RSS_A = 0,0009.

Соответственно суммарная сумма квадратов: RSS = 0,0665.

Теперь легко определяются веса каждой модели:

• 1 0,0665−0,0033 _Л._с" для первой: Vj =— -= U, lb75;
• 3 0,066э

для второй: v₂ = 0,3182; для третьей: v₂ = 0,2213; для четвертой: v₂ = 0,2931.

Сумма этих весовых коэффициентов равна единице, и, как легко заметить, самый большой вес имеет вторая модель с минимальной дисперсией ошибок. А первая однофакториая модель с максимальной дисперсией ошибок, имеет минимальный вес.

Теперь, зная эти веса, легко построить многофакторную линейную модель:

Модель, как и ожидалось, отличается от той, которая была построена с помощью синтеза однофакторных моделей в многофакторную с помощью одинаковых весов.

Помимо этих двух основных методов построения многофакторных моделей их синтезом из однофакторных, существуют и другие разновидности, отличающиеся способами задания весов однофакторных моделей^[1].

К числу очевидных преимуществ метода построения многофакторных моделей их синтезом из однофакторных следует отнести и возможность учета экспертной оценки степени влияния каждого из факторов на результат. Зачастую точность аппроксимации результирующего показателя с помощью какой-либо однофакторной модели фактора j вовсе не означает, что этот фактор является важнейшим для объяснения динамики показателя. Это говорит о том, что прогнозисту удалось подобрать хорошую аппроксимирующую модель и только. Экономический анализ сути происходящих процессов позволяет экономисту утверждать, что влияние одних факторов весомее, чем других и поэтому формировать формальную многофакторную модель с помощью весов, вычисляемых в зависимости от дисперсии (4.76), будет неверно. В этом случае веса каждого фактора задаются экспертным путем с учетом условия (4.74) и однофакторные модели синтезируются в многофакторную с помощью этих весов.

Прогнозист самостоятельно должен выбрать метод построения многофакторной модели, либо используя многофакторный МНК, либо построив однофакторные модели и синтезировав их в многофакторную.

• [1] Рабочая книга, но прогнозированию / отв. рсд. И. В. Бестужев-Лада.М.: Мысль, 1982.