Платежная матрица. 
Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает т личными стратегиями, которые обозначим

. Пусть у игрока В имеется п личных стратегий, обозначим их . Говорят, что игра имеет размерность т х п.

В результате выбора игроками любой пары стратегий однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш а;. игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (-ау) игрока В. Предположим, что значения а. известны для любой пары стратегий (А, В;.). Матрица Р = (a.), i = = 1, 2, …, m j = 1, 2, …, п, элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям А. и Bj, называется платежной матрицей, или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 12.1. Строки этой таблицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В.

Таблица 12.1

Составим платежную матрицу для следующей игры.

12.1. Игра «поиск» .

Игрок А может спрятаться в одном из двух убежищ (I и II); игрок В ищет игрока А, и если найдет, то получает штраф 1 ден. ед. от А, в противном случае платит игроку А 1 ден. ед. Необходимо построить платежную матрицу игры.

Р е ш е н и с. Для составления платежной матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок А может спрятаться в убежище I — обозначим эту стратегию через Av либо в убежище II — стратегия А.г Игрок В может искать первого игрока в убежище I — стратегия В{ либо в убежище II — стратегия В.,. Если игрок А находится в убежище I и там его обнаруживает игрок В, т. е. осуществляется пара стратегий (?? В{), то игрок А платит штраф, т. е. ап = -1. Аналогично получаем а.п = -1 (А2, В.,). Очевидно, что стратегии (А, В.,) и (Л2, /1,) дают игроку А выигрыш 1, поэтому ап = а.п = I. Таким образом, для игры «поиск» размера 2×2 получаем платежную матрицу:

. >

Рассмотрим игру т х п с матрицей Р =aj}, i = 1,2, …, ??; j = 1, 2, …, и и определим наилучшую среди стратегий Ау Av …, Ат. Выбирая стратегию Ajy игрок А должен рассчитывать, что игрок В ответит на нее той из стратегий В., для которой выигрыш для игрока А минимален (игрок В стремится «навредить» игроку А).

Обозначим через а; наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии Л; для всех возможных стратегий игрока В (наименьшее число в i-й строке платежной матрицы), т. е.

(12.1).

Среди всех чисел, а (г = 1,2,…, т) выберем наибольшее: . Назовем а нижней ценой игры, или максимальным выигрышем (максимином). Это гарантированный выигрыш игрока, А при любой стратегии игрока В. Следовательно,.

(12.2).

Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А; выбирая стратегию В., он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для А. Обозначим.

(12.3).

Среди всех чисел ?. выберем наименьшее,

и назовем? верхней ценой игры, или минимаксным выигрышем (минимаксом). Это гарантированный проигрыш игрока В. Следовательно,.

(12.4).

Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией.

Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цены игры и соответствующие стратегии в задаче 12.1. Рассмотрим платежную матрицу.

из задачи 12.1. При выборе стратегии Л, (первая строка матрицы) минимальный выигрыш равен a, =min (-l; 1) = -1 и соответствует стратегии ?1 игрока В. При выборе стратегии Л2 (вторая строка матрицы) минимальный выигрыш равен а2 = min (l; -1) = -1, он достигается при стратегии В.,.

Гарантируя себе максимальный выигрыш при любой стратегии игрока В, т. е. нижнюю цену игры, а = тах (а, а2) = = max (-l; -1) = -1, игрок А может выбирать любую стратегию: Aj или А2, т. е. любая его стратегия является максиминнои.

Выбирая стратегию В, (столбец 1), игрок В понимает, что игрок А ответит стратегией А2, чтобы максимизировать свой выигрыш (проигрыш В). Следовательно, максимальный проигрыш игрока В при выборе им стратегии В, равен ?, = шах (-1; 1) = 1.

Аналогично максимальный проигрыш игрока В (выигрыш А) при выборе им стратегии В2 (столбец 2) равен ?2 = max (l; -1) = 1.

Таким образом, при любой стратегии игрока А гарантированный минимальный проигрыш игрока В равен? = = ???(?1, ?2) = min (l; 1) = 1- верхней цене игры.

Любая стратегия игрока В является минимаксной. Дополнив табл. 12.1 строкой ?; и столбцом а;, получим табл. 12.2. На пересечении дополнительных строки и столбца будем записывать верхнюю и нижнюю цены игр.

Таблица 12.2

	— 1.		— 1.
		— 1.	— 1.

В задаче 12.1, рассмотренной выше, верхняя и нижняя цены игры различны: а Ф ?.

Если верхняя и нижняя цены игры совпадают, то общее значение верхней и нижней цены игры? =? =? называется чистой ценой игры, или ценой игры. Минимаксные стратегии, соответствующие цене игры, являются оптимальными стратегиями, а их совокупность — оптимальным решением, или решением игры. В этом случае игрок А получает максимальный гарантированный (не зависящий от поведения игрока В) выигрыш ?, а игрок В добивается минимального гарантированного (вне зависимости от поведения игрока Л) проигрыша ?. Говорят, что решение игры обладает устойчивостью, т. е. если один из игроков придерживается своей оптимальной стратегии, то для другого не может быть выгодным отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Пара чистых стратегий А. и В. дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент гг является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует, называется седловой точкой (по аналогии с поверхностью седла, которая искривляется вверх в одном направлении и вниз — в другом).

Обозначим А* и В* — пару чистых стратегий, на которых достигается решение игры в задаче с седловой точкой. Введем функцию выигрыша первого игрока на каждой паре стратегий: Р (А:, В-) = а у. Тогда из условия оптимальности в седловой точке выполняется двойное неравенство: P (Aj, В*)<�Р (А*, В*)<�Р (А', В•), которое справедливо для всех i = 1, 2, …, m;j = 1, 2, …, п. Действительно, выбор стратегии А* первым игроком при оптимальной стратегии В' второго игрока максимизирует минимальный возможный выигрыш: Р (А*, B')> Р (АГ В"), а выбор стратегии B' вторым игроком при оптимальной стратегии первого минимизирует максимальный проигрыш: Р (Д•, В*)<�Р (А', В).

12.2. Определить нижнюю и верхнюю цену игры, заданной платежной матрицей.

Имеет ли игра седловую точку?

Таблица 12.3.

	0,5.	0,6.	0,8.	0,5.
	0,9.	0,7.	0,8.	1 0,7 1.
	0,7.	0,6.	0,6.	0,6.
	0,9.	1 0,7 1.	0,8.

Решение. Все расчеты удобно проводить в таблице, в которую, кроме матрицы Р, введены столбец а; и строка [i (табл. 12.3). Анализируя строки матрицы (стратегии игрока А), заполняем столбец аа, =0,5, а2=0,7, а3=0,6 — минимальные числа в строках 1, 2, 3. Аналогично ?, =0,9, ?2 =0,7, ?3 =0,8 — максимальные числа в столбцах 1, 2, 3 соответственно. Нижняя цена игры а = птах ?(• = max (0,5; 7=1. 2, з 0,7; 0,6) = 0,7 (наибольшее число в столбце а;) и верхняя цена игры ?= min ?; = min (0,9; 0,7; 0,8) = 0,7 (наименьшее число в строке ?.). Эти значения равны, т. е.? = ?, и достигаются на одной и той же паре стратегий (А2, В.,). Следовательно, игра имеет седловую точку (А2, В2) и цена игры? = 0,7. >