Модель с лагами (Самуэльсон — Хикс)

Экономические субъекты принимают решения об объеме потребления и инвестиций, основываясь на величине дохода в предыдущие годы, т. е. с учетом временного лага. Выполняется условие динамического равновесия, тогда динамика дохода описывается тремя уравнениями:

где с — норма потребления; ю — акселератор.

Из уравнений следует, что если доход неизменен, то он равен У = Е_а / / (1 — с). Отклонения дохода от равновесного значения У в текущем году и двух предшествующих годах связаны равенством:

Это конечно-разностное уравнение, аналогичное линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка, его характеристическое уравнение имеет вид.

Характер динамики дохода зависит от знака дискриминанта этого уравнения (D) и значения свободного члена (акселератора). Если дискриминант отрицателен, то имеется циклическая динамика, если положителен — монотонная. Если акселератор меньше единицы, то доход стремится к У, т. е. стабилизируется. Если он больше единицы, то модуль отклонения дохода от У бесконечно растет. Всего имеются пять видов динамики:

• 1) затухающие колебания при D < 0, со < 1;
• 2) расходящиеся колебания при D < 0, to > 1;
• 3) маятниковые колебания при D < 0, со = 1;
• 4) монотонное стремление к равновесию при D > 0, со < 1;
• 5) экономический рост при D > 0, со > 1.

В случае колебательной динамики сопряженные комплексные корни характеристического уравнения (^,₁₂ = а ± р,) однозначно определяют значение переменной амплитуды (A_t), постоянной частоты (Q) и периода (Г) колебаний:

Если а² + р² < 1, то колебания затухают (А, —" 0), если а² + р² > 1, то они расходящиеся (А_г -> °°), если а² + р² = 1, то они маятниковые (А, - 1). Решение конечно-разностного уравнения (7.6) имеет вид где C_t и С₂ — постоянные, которые определяются начальными условиями.

Пример Определим формулу динамики дохода, если с = со = 0,5; 1/(0) = 10; у (2) = 12. Составим и решим характеристическое уравнение:

Запишем формулу амплитуды, найдем частоту и период колебаний:

Решение уравнения имеет вид.

Значение С) найдем, подставив в решение t = 0; у = 10:

Значение С₂ найдем, подставив в решение t = 2; у = 12; С = 10:

Решение уравнения:

Область колебаний — множество точек «акселератор — норма потребления», для которых решение конечно-разностного уравнения имеет циклический характер (дискриминант характеристического уравнения меньше нуля). Она ограничена кривой нулевого дискриминанта сверху и осью абсцисс снизу. Найдем формулу этой кривой:

Ее свойства: 1) пересекает ось абсцисс в точках 0 и 4; 2) имеет один восходящий и один нисходящий участок; 3) максимум равен 1 в точке с абсциссой 1.

Вывод. При низких значениях с и со доход стабилизируется:

• • если с существенно больше со, то этот процесс монотонный,
• • если с существенно меньше со, то этот процесс циклический.

Пример Определим характер динамики дохода, если в 2000 г., 2001 г. и 2002 г. он равен 530,510 и 502, а потребление в 2001 г. и 2002 г. равно 474 и 458. Инвестиции в 2003 г. равны 47,6.

Учитывая, что индуцированные инвестиции равны разности общих инвестиций и автономных инвестиций (/"), определим акселератор из системы уравнений:

Из аналогичной системы получим норму потребления, равную 0,8. Поскольку дискриминант положителен (0,01), а акселератор меньше единицы, то доход монотонно стремится к равновесному значению.