Однофакторный линейный корреляционно-регрессионный анализ

Наиболее разработанной в настоящее время является методология парной корреляции, рассматривающая влияние вариации одного факторного признака X на результативный признак У. Теория и методика парной корреляции служат основой более сложных приемов и методов изучения статистических связей.

При изучении парной регрессии показателей социально-экономической сферы используются различные функции (уравнения):

• • линейная Y = а₀ + а_лХ
• • логарифмическая У = а₀ + а_л lgX;
• • показательная У = а₀ + а*
• • степенная У = а₀Х^аi;
• • параболическая У = а₀ + а_хХ + а₂Х²;
• • гиперболическая У = а₀ + и др.

Выбор функции, которая наиболее точно выражает связь между анализируемыми показателями, — важнейший этап корреляционно-регрессионного анализа.

При решении этой задачи необходимо использовать теоретические знания об изучаемом процессе и опыт предыдущих аналогичных исследований. Возможности современной вычислительной техники позволяют выбрать «наилучшую» функцию эмпирически — перебором и оценкой функций разного вида.

Определение параметров выбранной функции осуществляется с помощью метода наименьших квадратов, в основу которого положен критерий минимальности суммы квадратов отклонений эмпирических (фактических) данных (У,) от соответствующих им расчетных значений результативного признака (Yj):

Чаще всего используется линейное уравнение парной регрессии:

где У_; — теоретическое (расчетное) значение результативного признака, полученного по уравнению регрессии; а₀ и а_л — параметры уравнения регрессии.

Коэффициент а_л (коэффициент регрессии) показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу его измерения. Знак при коэффициенте регрессии свидетельствует о направлении зависимости Y от X:

• • при а_л > 1 зависимость прямая;
• • при а_л< 0 зависимость обратная.

Параметр я₀ показывает среднее значение результативного признака Y при X — 0 в случае, если в исходных данных имеется пулевое значение факторного признака. Во всех остальных случаях а₀ экономически не интерпретируется и количественно представляет собой «доводку», обеспечивающую равенство.

Параметры уравнения (9.1) в соответствии с методом наименьших квадратов определяются по формулам.

Определив значения а₀ и я, и подставив их в уравнение (9.1), находим значение Y_jt зависящее только от заданного уровня х_{.

Пример 9.1.

Построим уравнение парной регрессии, отражающее зависимость годовой заработной платы и выработки продукции рабочих завода. В этом случае результативным признаком является заработная плата рабочих, а в качестве факторного признака выступает выработка продукции в натуральном выражении.

Распределение рабочих завода по выработке и заработной плате.

В таблице факторный признак X проранжирован, и сопоставление параллельных рядов (графы 2 и 3) позволяет утверждать, что между рассматриваемыми показателями существует прямая зависимость: с ростом объема выработки увеличивается величина заработной платы.

Наличие такой связи подтверждается расположением точек и ломаной линией на корреляционном поле.

Зависимость заработной платы рабочих от выработки продукции.

Для количественной оценки связи между анализируемыми показателями определим параметры линейного уравнения регрессии:

где У — теоретические (расчетные) значения результативного признака (заработной платы), полученные по уравнению регрессии; а₀ и а_л — параметры уравнения регрессии; * — выработка продукции.

Используя информацию таблицы, по формулам (9.2) рассчитаем значения параметров парной регрессии:

Таким образом, регрессионная модель зависимости заработной платы рабочих от выработки продукции выглядит следующим образом:

Графическое изображение этой функции показано на рисунке сплошной прямой линией.

Такая зависимость означает, что с ростом выработки продукции в данной совокупности рабочих на 1 гыс. шт., в среднем величина их заработной платы увеличивается на 2,8 тыс. руб.

Величины, представленные в графе 7 таблицы, рассчитываются следующим образом:

Правильность расчета параметров уравнения регрессии подтверждает равенство: X У) = X У₍ =307,6 (некоторое расхождение объясняется округлением расчетов).