Виды процентных ставок

В мире финансов, в отличие от мира математики, существует несколько типов процентных ставок, каждая их которых применяется в отдельных видах сделок или ситуациях.

Типы процентных ставок

Для удобства в табл. 2.2 приведены различные классификации процентных ставок, используемых в современной практике. Далее каждая классификация описывается детально. Но вначале необходимо понять, что лежит в основе классификаций, так как для правильности выполнения расчетов знание классификационного признака имеет принципиальное значение.

Таблица 2.2

Классификации процентных ставок

Жирным шрифтом в табл. 2.2 выделены те характеристики процентной ставки, которые в реальном мире подразумеваются «по умолчанию». Другими словами, если не сказано иное, то в рекламном буклете выражение «ставка процента 5% годовых» означает начисление процентов в конце года, один раз в год, фиксированную ставку сложных процентов, и базу начисления процентов — текущую стоимость.

Первым таким признаком является момент взимания (начисления) процентов. Этот момент может быть в начале каждого расчетного периода или в конце. Если начисление процентов происходит в начале расчетного периода, то говорят о антисипативной ставке процентов, если начисление процентов происходит в конце расчетного периода, то говорят о декурсивной ставке процента.

Рассмотрим вклад на три года (рис. 2.2), по которому выплачивается фиксированный процент (r). Верхняя часть рисунка показывает выплаты процентов R в случае антисипативной ставки процента, а нижняя часть рисунка — в случае декурсивной ставки. Допустим, что начисленные проценты можно снять и использовать.

Рис. 2.2. Декурсивная и антисипативная ставки процента.

Как легко видеть, номинальные выплаты одинаковы в обоих случаях и равны 3R. Однако если принять во внимание, что полученные проценты можно положить под такую же ставку (самый простой способ — капитализировать полученные проценты), то разница становится очевидной.

Рассчитаем сумму, которую можно выручить к моменту завершения сделки на полученных процентах в случае декурсивной ставки. Последние полученные проценты R, очевидно, не позволят ничего заработать, так как они получены на момент расчета. Предпоследние проценты R получены за один год до окончания сделки, и поэтому их можно положить в банк под тот же процент, что позволит к моменту завершения сделки превратить их в . Таким образом, получаем.

Рассчитаем сумму, которую можно выручить к моменту завершения сделки на полученных процентах в случае антисипативной ставки. Используя те же рассуждения, что и для декурсивной ставки, получаем.

Таким образом, будущая стоимость, рассчитанная по антисипативной ставке процента, всегда больше будущей стоимости, рассчитанной по декурсивной ставке, на величину множителя за один период . Это происходит вследствие того, что вкладчик может распорядиться процентами раньше. Именно поэтому банки предпочитают декурсивную ставку процента по вкладам, так как это позволяет суммарно платить меньше процентов.

Вторым признаком выступает база начисления процентов. Если проценты начисляются на одну и ту же сумму (первоначальную или конечную), то говорят о простой ставке процента. Если же проценты начисляются не только на первоначальную сумму, но и на начисленные ранее проценты, то такая ставка процента называется сложной.

Например, первоначальная сумма равна 100 руб., простая процентная ставка равна 10%, срок вклада равен трем годам. К концу первого года вклад увеличится на 0,1 • 100 = 10 руб. и составит 110 руб. К концу второго года вклад увеличится еще на 10 руб. и составит уже 120 руб. К концу третьего года величина вклада будет равна 130 руб. Общая формула для процесса наращения для простой ставки процента описывается формулой.

(2.2а) В случае сложной процентной ставки проценты за каждый следующий период начисляются не только на первоначальную сумму, но и на сумму полученных процентов. Так, при ставке сложных процентов в 10% годовых за два года первоначальная сумма в 100 руб. превратится не в 120 руб. (как при простой ставке), а в 121 руб., так как 100 • 1,1 • 1,1 = 100 • 1,21 = 121. Общая формула для расчета по процессу наращения для сложных процентов -.

(2.2б) Третьим признаком является частота начисления процентов, под которой понимается количество начислений процентов в течение одного года. Если это количество конечно (от полугода до ежедневно), говорят о дискретной ставке процента. В противном случае говорят о непрерывной ставке процента, когда проценты начисляются каждое мгновение.

Рассмотрим процесс наращения при условии, что ставка процента равна г, а начисление процентов происходит каждые четыре месяца (рис. 2.3), т. е. т = 3.

Рис. 2.3. Схема наращения при начислении процентов несколько раз в году

Каждую треть года банк будет начислять i/3 процента. Если ставка процента была простой, то будет выполняться равенство.

(2.3а) Таким образом, очевидно, что для простой ставки процента не имеет значения, сколько раз за год происходит начисление процентов. Для ставки сложных процентов будет выполняться равенство.

(2.3б) Математически можно доказать, что (здесь и далее подразумевается, что ), следовательно, равенство (2.36) позволяет сделать вывод о том, что при увеличении числа начислений процентов в течение года увеличивается будущая стоимость. Что произойдет, если начать начислять проценты каждый день, каждый час, каждую минуту или каждое мгновение? В этом случае мы получим понятие непрерывной ставки процента, которую называют силой роста (чтобы отличить непрерывную ставку процента от дискретной, ее обычно обозначают 8). Для этого выполним цепочку преобразований:

Следовательно,.

(2.3в) Отметим, что непрерывная ставка процента дает наибольший прирост благосостояния при прочих равных условиях, следовательно, ее выгодно использовать в расчетах. Кроме того, непрерывная ставка процента чрезвычайно популярна в теоретических расчетах, так как функция экспоненты удобна при дифференцировании и интегрировании, а также легко логарифмируется.

Пример 2.6. Вы рассматриваете возможность своего участия в проекте, денежные поступления (, руб.) по которому по годам представлены ниже.

	22 345.	23 456.	24 567.	15 678.	16 789.

Найдите текущую стоимость данного проекта, если ставка дисконтирования является непрерывной и подчиняется следующему закону:

Решение.

Находим дисконтирующие множители вида , интегрируя функцию . Заметим, что интегрировать придется кусочно-постоянную функцию. Следовательно, разбиваем весь интервал на три части и на каждой из них определяем свой множитель. Найдем дисконтирующий множитель на интервале [0; 2):

Следовательно, множитель равен . Далее определяем дисконтирующий множитель на интервале [2; 5):

Следовательно, дисконтирующий множитель равен . Находим дисконтирующий множитель на интервале :

Следовательно, дисконтирующий множитель на интервале равен е0,07−0•08t. Теперь у нас есть вся необходимая информация для нахождения текущей стоимости проекта PV:

Таким образом, текущая стоимость проекта составляет 104 831,02 руб.

Четвертым признаком выступает база расчета процентов. Если проценты считаются от начальной суммы, то такая ставка называется процентной (хотя обычно так не говорят, чтобы не усложнять речь), обозначается (i), и математически ее можно записать как равенство.

(2.4а) Если же базой расчетов выступает конечная сумма, то говорят об учетной ставке, обозначаемой обычно (d) и записываемой математически через равенство.

(2.4б) Учетная ставка применяется банками при учете векселей с давних времен. Сейчас помимо учета векселей она используется ломбардами при ломбардном кредитовании. Чтобы лучше понять разницу между этими ставками, рассмотрим следующий пример.

Пример 2.7. Человек пришел в банк, чтобы продать имеющийся у него вексель, по которому через год выплатят 12 000 руб. Учетная ставка банка равна 20%. Определите, какую сумму денег он получит при этих условиях. Также найдите доходность совершенной операции для байка в терминах процентной (не учетной) ставки.

Решение

Поскольку учетная ставка за базу расчетов принимает конечную стоимость, то банк выплатит человеку сумму, которая равна 80% от суммы векселя, т. е. 0,8 • 12 000 = 9600 руб. Таким образом, доход банка составит 2400 руб. Теперь можем найти доходность операции для банка в терминах обычной процентной ставки, чтобы получить доход в 2400 руб. банк потратил 9600 руб., следовательно, доходность этой операции равна 2400/9600 = 0,25, или 25%.

Пятым признаком является размер самой ставки. Если он не меняется, то говорят о постоянной ставке процента. Если размер ставки меняется скачкообразно несколько раз в течение срока сделки, то говорят о переменной ставке процента. При этом размеры ставок известны заранее, либо описаны принципы их вычисления. Если же размер ставки процента «привязан» к какому-то параметру, меняющемуся случайным образом, то говорят о плавающей ставке. Переменная ставка позволяет более гибко реагировать на изменение ситуации, а плавающая ставка процента обычно выступает в роли страховки от каких-то нежелательных последствий (например, индексируемые облигации, в которых размер купона зависит от темпа инфляции, что позволяет инвестору получать фиксированный доход с точки зрения покупательной способности денег).