Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемо;

о о му) значению а₀. На практике а₀ устанавливается на основании предшествующего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия S² с k = = п- 1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению ajj.

Учитывая, что S² является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:

Итак, требуется проверить, что математическое ожидание исправленной дисперсии равно гипотетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются исправленная выборочная и гипотети ческая генеральная дисперсии.

На практике рассматриваемая гипотеза проверяется, если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, методов исследования и устойчивость технологических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей, изготавливаемых станком-автоматом, равная Gq, а найденная, но выборке окажется значимо больше ojj, то станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину (n-Y)S /05. Эта величина случайная, потому что в разных опытах S² принимает различные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение х² с k — п -1 степенями свободы (см. гл. 12, § 13), обозначим ее через %²;

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

9 9.

Первый случай. Нулевая гипотеза Я₀: G" = Gq. Конкурирующая гипотеза Н_х: о² > ojj.

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку Хк_Р(^а> находят по таблице критических точек распределения %² (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством х² > Хкр>^а°б;

о 2 2.

ласть принятия нулевой гипотезы — неравенством х" < Хкр?

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблю;

о дений, через Х"_абт ^и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Я₀: о = о₀ о равенстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе #_t: о² > Ор, надо вычислить наблюдаемое значение критерия х²_абл ⁼ (^п~ 1)-S²/Oq ^и 110 таблице критических точек распределения х², по заданному уровню значимости а и числу степеней свободы к = п —1 найти критическую точку Хк_Р(а; к).

Если Хнабл ^< xL ^{— нет основаии}й отвергнуть нулевую сипоте- 2 ' о^Р

зу. Если х"абл > Х_кр ^— нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п = 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s² = 14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н₀: а² =о2 = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Н- о² >12.

Реше и и е. Найдем наблюденное значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а² > 12, поэтому критическая область правосторонняя.

По таблице приложишя 5 по уров! но значимости 0,01 и числу creneiгей свободы к = п — 1 = 13−1 = 12 находим критическую точку х²_р(0,01; 12) = 26,2.

Так как Хнабч ^< Х²_р ^— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.

Второй случай. Нулевая гипотеза Я₀: а² = Оц. Конкури;

2 2.

рующая гипотеза Н_{: а Ф а₀.

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а.

Критические точки — левую и правую границы критической области — находят, требуя, чтобы вероятность попадания критерия в каждый из двух интервалов критической области была равна а/2:

В таблице критических точек распределения х² указаны лишь «правые» критические точки, поэтому возникает кажущееся затруднение в отыскании «левой» критической точки. Это затруднение легко преодолеть, если принять во внимание, что события х² < Хлев. кр ^и X² > Хлсв. кр противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

Отсюда

Мы видим, что левую критическую точку можно искать как правую (и значит, ее можно найти по таблице), исходя из требования, чтобы вероятность попадания критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1 — (а/2).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу о равенстве неизвестной генеральной дисперсии а² нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурирующей гипотезе Н_{ :а² Ф ajj, надо вычислить наблюдаемое значение критерия %²_абл = (п- 1) s²/(Jq и по таблице найти левую критическую точку %²_р(1-а/2; к) и правую критическую точку Х_кр(сс/2; к).

^Если Хлев. кр < Хнабл < Х?_1рав._Кр «^пет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

^ЕсЛИ Хнабл < Хлев. кр ^ИЛИ xLh > Х?, рав. кр «Нулевую ГИПОТезу ОТ;

вергают.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема п =13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s² = 10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу #₀: а~ = Gq = 12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Я: а²Ф 12.

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а² Ф 12, то критическая область — двусторонняя.

По таблице приложения 5 находим критические точки: левую —.

Хк_Р(1 — «А к) = Хк_Р(1 — 0,02/2; 12) = х²_кр(0,99; 12) = 3,57 и правую ;

Хк_Р(а/2; k) = % (0,01; 12) = 26,2. Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < < 26,2) — нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправленная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотетической генеральной дисперсии (12).

Третий случай. Конкурирующая гипотеза II _х: а < .

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н_{ :а² < aj; находят критическую точку %²_р(1-а; к).

Если %²_а6л >Хк_Р0^-ос' ?) ^— нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если х1_ав_л <�Хкр (1-а; к) — нулевую гипотезу отвергают.

Замечание 1. В случае, если найдена выборочная дисперсия ?>_в, в качестве критерия принимают случайную величину у² = nD_K /Oq, которая имеет распределение х² с к = п -1 степенями свободы, либо переходят кл-² = [и/(иl)|D_it.

Замечание 2. Если число степеней свободы к > 30, то критическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсона — Гилферти.

где z_a определяют, используя функцию Лапласа (см. приложение 2), по равенству Ф (2_и) = (1 — 2а)/2.