Определение реакций в связях плоских расчетных схем

Простые балки и однодисковые системы

Последовательность определения реакций в связях статически определимых расчетных схем тесно связана с анализом их геометрической структуры, т. е. с тем, как и в каком порядке диски расчетной схемы соединены между собой в единое геометрически неизменяемое целое. Выявив порядок образования расчетной схемы, мы всегда можем установить и порядок ее расчета Простые балки (см. рис. 1.11, а — г) и балки с осью ломаного очертания относятся к простейшему классу расчетных схем — однодисковым системам. Реакции в таких расчетных схемах можно определять графическим и аналитическим способами.

Графический способ. При современном уровне компьютеризации графический способ утратил свою актуальность и используется, как правило, лишь при изучении дисциплины, так как его наглядность помогает понять распределение сил в конструкции при внешнем воздействии.

Рассмотрим простейшие примеры определения реакций в балках графическим способом.

Пример 3.1.

Требуется определить реакции в простой балке, загруженной наклонной силой (рис. 3.2, а).

Рис. 3.2.

Решение. Балка, загруженная силой F, имеет две опоры: шарнирно-неподвижную А (см. табл. 1.1, и. 2) и шарнирно-подвижную В (см. табл. 1.1, п. 1). Шарнирно-неподвижная опора имеет две реакции: вертикальную V_A и горизонтальную Н_л> которые по правилу параллелограмма сил можно заменить их равнодействующей R_a, направление которой пока неизвестно. Но известны направление заданной силы F и реакции R_B в шарнирно-подвижной опоре.

Используем для решения задачи принцип равновесия трех сходящихся сил (см. подпараграф 2.3.1): если три силы находятся в равновесии, линии их действия должны сходиться в одной точке, т. е. в точке С, которая находится на пересечении линий действия F и R_B (рис. 3.2, а). Следовательно, прямая АС является линией действия R_A.

Так как теперь направления всех трех сил известны, производим разложение силы F на два направления: R_A и R_B (рис. 3.2, б). Для этого из концов построенной в силовом масштабе заданной силы проводим лучи, параллельные этим направлениям. В полученном силовом треугольнике определяем направления R_A и R_B, исходя из правила: если силы находятся в равновесии, то силовой треугольник должен быть замкнут. Далее, раскладывая полученную силу R_A на два направления, определим реакции V_A и Н_А (см. рис. 3.2, б). Равновесное состояние балки АВ показано на рис. 3.1, в.

Пример 3.2.

Требуется определить реакции в простой балке, загруженной вертикальной силой (рис. 3.3, а).

Решение. Простая балка загружена вертикальной силой F. Балка имеет две опоры: шарнирно-неподвижную Л и шарнирно-подвижную В. Горизонтальная реакция Н_А = = 0, так как она является единственной горизонтальной силой, действующей на балку (на основании уравнения равновесия Хх = 0).

Рис. 33.

Действующую силу F можно разложить на два параллельных ей направления в точках А и В по формуле (2.22). На основании аксиомы 5 (равенства действия и противодействия) величины вертикальных реакций в точках А и В будут равны этим силам, т. е. V_А — Fb/l и R_B = Fa/l.

Аналитический способ. При аналитическом определении опорных реакций в балках используются, в зависимости от условий задачи, уравнения равновесия (2.11), (2.18) — (2.20) и (2.28), (2.29), приведенные в табл. 3.1.

При составлении уравнений равновесия в процессе решения задачи необходимо стремиться к тому, чтобы каждое последующее уравнение по возможности содержало лишь одно неизвестное и не содержало велимин, определенных в предыдущих уравнениях. Данное требование позволяет избежать ошибок при счете. Выполнение его обеспечивается правильным выбором типа уравнения равновесия и, особенно, моментных точек. Для системы произвольно расположенных сил чаще всего удобнее использовать вторую (2.19) или третью форму уравнений равновесия, а первую форму (2.18) применять для проверки полученных результатов.

Рассмотрим примеры определения реакций в балках аналитическим способом.

Пример 3.3.

Требуется определить реакции в простой балке (рис. 3.4, а).

Решение. Простая балка с консолью загружена вертикальной нагрузкой и парой. Это означает, что горизонтальная реакция в шарнирно-неподвижной опоре А заведомо равна нулю, и ее можно не показывать при удалении опорных связей и замене их действия опорными реакциями (рис. 3.4, б).

Рис. 3.4.

Для определения реакций (см. рис. 3.4, б) используем вторую форму уравнений равновесия (2.29) для системы параллельных сил, а для проверки — одно из уравнений первой формы (2.28). Равномерно распределенную нагрузку приводим к равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия и равной R_q = 4? 4 = = 16 кН (см. рис. 3.4, б).

• 1 М_А = 0; 16 • 2 — 24 • 6 — R_B-8 + 48 = 0, R_u = -8 кН.
• 1 М_В = 0; V_A ? 8 — 16 • 6 + 24 • 2 + 48 = 0, V_A = 0.

Покажем найденные опорные реакции на схеме балки (рис. 3.4, в) и произведем проверку:

XY = 0; -8 — 16 + 24 = 0.

Уравнение равновесия выполняется, следовательно, реакции определены верно.

Пример 3.4.

Требуется определить реакции в балочной однодисковой системе (рис. 3.5, а). Решение. Балка с тремя линейными опорными связями загружена вертикальной распределенной нагрузкой, горизонтальной силой и парой. Линии действия опорных реакций R_A, R_B и R_c имеют точки пересечения т, п и k (рис. 3.5, б), поэтому для их определения используем третью форму уравнений равновесия (2.20), а для проверки — два уравнения первой формы (2.18). Плечи реакций до момен гных точек т, п и k показаны на рис. 3.5, б: h_A = б м, h_c= б м, h_B = 3>/2 м. Равномерно распределенную нагрузку приводим к равнодействующей, приложенной в середине участка ее действия R. = б • 8 = 48 кН (см. пис. 3.5, б).

Рис. 35.

Покажем найденные опорные реакции на схеме балки (рис. 3.5, в) и произведем проверку:

Уравнения равновесия выполняются, следовательно, реакции определены верно.

Пример 3.5.

Требуется определить реакции в балке с осью ломаного очертания (рис. 3.6, а).

Решение. Балка имеет одну линейную опорную связь и подвижное в вертикальном направлении защемление (см. рис. З. б, я), загружена вертикальными и горизонтальной нагрузками. Направления опорных реакций после удаления связей (рис. 3.6,.

б) показаны в соответствии с п. 1 и 4 табл. 1.1.

Из рис. З. б, б видно, что неизвестными являются одна горизонтальная нагрузка Н_А, одна вертикальная R_B и момент в заделке М_л. Следовательно, для данной задачи удобно использовать первую форму уравнений равновесия (2.18), взяв для третьего уравнения в качестве моментной точку пересечения линий действия Н_А и R_B. Для проверки можно использовать любую другую моментную точку на плоскости.

Рис. 3.6.

Показываем найденные опорные реакции на схеме балки (рис. 3.6, в) и производим проверку, приняв в качестве моментной точку п:

ХМ_Я = 0; 4−2-16−6-2 + 12−4-4 1−6-4 = 56−56 = 0.

Уравнение равновесия выполняется, следовательно, реакции определены верно.

Пример 3.6.

Требуется определить реакции в консольной балке с осью ломаного очертания (рис. 3.7, а).

Рис. 3.7.

Решение. Бачка имеет одну опору, представляющую собой полное защемление (см. рис. 3.7, а), загружена наклонной и горизонтальной силами и двумя парами. Направления опорных реакций после удаления связей (рис. 3.7, 6) показаны в соответствии с п. 3 табл. 1.1.

Из рис. 3.7, 6 видно, что неизвестными являются реакции в заделке горизонтальная Н_л, вертикальная V_A и момент в заделке М_л. Следовательно, для данной задачи удобно использовать первую форму уравнений равновесия (2.18), взяв для третьего уравнения в качестве моментиой точки место заделки. Для проверки можно использовать любую другую момеитную точку на плоскости.

Все определенные из уравнений равновесия значения опорных реакций получены со знаком «минус». Это означает, что действительные направления реакций противоположны, но направлениям, показанным на рис. 3.7, 6.

Показываем найденные опорные реакции на схеме балки (рис. 3.7, в), исправляя их направления, и производим проверку, приняв в качестве моментной точку п:

1М" = 0; 174−4*3−15*2−12−1664−6 = 180−180 = 0.

Уравнение равновесия выполняется, следовательно, реакции определены верно.