Нагрев или охлаждение неограниченного полого цилиндра

Неограниченный полый цилиндр — это, другими словами, труба большой длины, характеризующаяся двумя радиусами: R1 — внутренний радиус трубы и Т?2 — внешний радиус. В двух задачах, которые мы рассмотрим ниже, требуется найти распределение температуры внутри стенки трубы, т. с. в области 7?, < г < R₂ в любой момент времени: T (r, f) в области У?, < г < R₂. Будем использовать следующие обозначения: число Фурье (безразмерное время) Fo = atKR.2 — R)², критерий Био Bi = a -{R.2 — R)/k, где Я, а — коэффициенты теплои температуропроводности материала трубы соответственно, t — обычное время (в секундах), отношение радиусов.

k = R₂/Ri > 1.

Задача 1. Неограниченный полый цилиндр (труба большой длины) находится в тепловом равновесии с окружающей средой, имеющей температуру Т_с, т. е. начальная температура трубы То = Т_с. В момент времени t = 0 внутри цилиндра начинает работать источник тепла с постоянной мощностью, создающий тепловой поток с плотностью q через внутреннюю поверхность трубы. Труба начинает нагреваться, и возникает теплообмен между ее внешней поверхностью и окружающей средой; коэффициент теплообмена а. Требуется найти распределение температуры по толщине стенки трубы в любой момент времени: T (r, t).

Приближенное решение этой задачи, пригодное для практических расчетов, имеет вид [10]:

где вспомогательные параметры А, С, D вычисляется по формулам:

Формула (3.48) пригодна как для нагрева, так и для охлаждения шара. Точность этой формулы зависит от критерия Био и числа Фурье: при увеличении критерия Био и уменьшении числа Фурье погрешность возрастает, но не превышает 6%. При Bi < 5 и Fo > 0.1 погрешность составляет менее 3%.

Задача 2. Начальная температура грубы не равна температуре окружающей среды: То ^ Т_с. Внутренняя поверхность трубы теплоизолирована, а на внешней поверхности происходит теплообмен окружающей средой с коэффициентом теплообмена а. Вследствие этого труба остывает, если ее начальная температура То была больше температуры Т_с, или нагревается, если То < Т_с. Требуется найти распределение температуры по толщине стенки трубы в любой момент времени: T (r, t).

Приближенное решение этой задачи, пригодное для практических расчетов, имеет вид [10]:

где вспомогательные параметры А и D вычисляется по формулам:

В пределе при к -" °° (R2 = const, R -" 0) формула (3.49) совпадает с формулой (3.47) для распределения температуры в сплошном цилиндре при постоянных граничных условиях третьего рода, как и должно быть.