Распределение Бозе-Эйнштейна. 
Физика

При температуре Т, превышающей температуру вырождения, среднее число бозонов (и,) на энергетическом уровне ?, определяется выражением.

Видно, что при Si <�С кТ (на низких энергетических уровнях) (л,-) 1,.

т.е. ограничений на число бозонов в одном состоянии нет.

Подобные распределения встречались в теории Планка, описывающей тепловое излучение черного тела. Это не случайно, ибо черное тело можно рассматривать как резервуар с фотонным газом, а спин фотонов S = /?, т. е. они относятся к бозонам.

Распределение Ферми-Дирака. Химический потенциал.

Система фермионов при температуре Т имеет на уровне Sj среднее число фермионов, равное.

где [I — химический потенциал, т. е. характерная энергия фермионов. Он связан с имеющими место для фермионов законами сохранения (заряда, лептонного и барионного числа и т. д.) При Т —? 0 р «Ер — энергии Ферми. Видно, что в этом случае для уровня, лежащего ниже уровня Ферми.

а для уровня, превышающего уровень Ферми.

Так для системы фермионов и возникает ситуация вырождения, описанная в разделе 7.6.4 (кривая а).

При не слишком высоких температурах, таких, что энергия теплового движения кТ < Ер, химический потенциал несколько уменьшается.

где А — некоторая постоянная. В результате небольшая доля фермионов ~ (кТ/Ef) ‘'оттаивает" и получает возможность менять свою кинетическую энергию под действием внешних условий, т. е. двигаться и переносить тепло, электрический ток и т. д. (кривая б).

Отметим, что приведенная формула для (л;) относится только к тождественным частицам. Например, для системы электронов ее следует умножить на 2, т.к. электрон может находится в двух спиновых состояниях S = ±hj2. Поэтому один уровень могут занимать два электрона с разными проекциями спина на какую-либо ось. В системе нуклонов.

(rij) надо умножать на 4, ибо, кроме двух спиновых ориентаций, нуклон может находиться в двух зарядовых состояниях (протон и нейтрон).

Сравнение функций распределения при высокой температуре.

Для статистик Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна имеем:

Статистическая функция распределения в классической механике — распределение молекул по скоростям (Максвелла-Больцмана):

Легко видеть, что при высоких энергиях и температурах, когда 1,.

в знаменателе можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой и получить:

Таким образом, при высоких температурах частицы не «мешают* друг другу, их специфические квантовые взаимодействия (принцип Паули, бозе-конденсация) не проявляются, и именно поэтому в данной области обе квантовые статистики переходят в классическую статистику Максвелла.