Вычисление коэффициента корреляции но Спирмену

Отсутствие линейной зависимости, полученной в ходе использования коэффициента линейной корреляции Пирсона, не означает, что исследуемые параметры нс связаны между собой.

Коэффициент корреляции по Спирмену (показатель ранговой корреляции Спирмена) позволяет выявить присутствие монотонно-возрастающей или убывающей зависимости (необязательно линейной).

Кроме того, этот критерий непараметрический и нет необходимости проверять данные на нормальное распределение.

Исторический экскурс Чарльз Эдвард Спирмен (Charles Edward Spearman, 1863—1945) — английский психолог, профессор Лондонского и Честерфилдского университетов. Изучая корреляции между результатами выполнения различных заданий, Спирмен внес значительный вклад в развитие факторного анализа в психологии. В 1904 г. он разработал один из методов корреляций, названный корреляцией Спирмена. Предложил первый метод оценки надежности психологических тестов (источник: http://megabook.ru).

Пример 7.7.

Пусть что при изучении зависимости численности планктона в воде от скорости течения реки были получены следующие два ряда данных¹ (табл. 7.17).

Таблица 7.17

Числовые ряды численности планктона в воде.

Эти ряды были получены в результате одновременных (относящихся к одному дню) оценок этих показателей на 10 различных участках реки. Таким образом, каждому значению ряда X соответствует одно значение ряда У.

Проведя с обоими рядами процедуру ранжирования, получаем следующие ряды (табл. 7.18).

Далее вычисляем разности рангов в сопряженных парах (X — У): 6,5; -5,5; 3; -6; 3; 2; 0,5; -8; 9; -4,5. Члены полученного таким образом ряда возводятся в квадрат и суммируются:

¹ Простейшие методы статистической обработки результатов экологических исследований / сост. А. С. Боголюбов. М.: Экосистема, 1998. С. 3.

Ранжирование числовых рядов численности планктона в воде.

Таблица 7.18

Полученное значение подставляют в формулу для вычисления коэффициента корреляции по Спирмену r_s:

где 8 — разность рангов попарно сопряженных значений; ?8² — только что вычисленная сумма квадратов разностей; N — объем сравниваемых рядов (число пар сопряженных значений).

Теперь сформулируем гипотезы:

Н₀: корреляция между переменными X и У не отличается от нуля;

Я: корреляция между переменными X и У достоверно отличается от нуля.

В рассматриваемом примере коэффициент корреляции равен.

Показатель корреляции имеет отрицательное значение, т. е. чем больше скорость течения реки, тем меньше на данном участке численность планктона.

Допустим, что зависимость установлена. Тогда встает вопрос: насколько существенна эта связь, как часто будет обнаруживаться она в последующем, когда придется работать с подобными рядами. Ответом на этот вопрос является определение уровня значимости полученного коэффициента, параметра и нр. Уровни значимости представлены в специальных таблицах (см. приложение, табл. П.15).

Интерпретация данного критерия предполагает, что:

• • если r_s < г_крит, то принимается гипотеза #₀;
• • если r_s > г_крит, то принимается гипотеза Н_х.

Таким образом, для нашего исследования верна гипотеза Н_х, так как.

^rs ~ I^критг Интерпретация данного критерия предполагает также классификацию корреляционных связей по степени силы.

А) Общая:

Б) Частная:

Следовательно, наметившуюся отрицательную зависимость между численностью планктона и скоростью течения реки можно считать достоверной (сильной).

Отметим, что коэффициент ранговой корреляции Спирмена остается постоянным при любом строго возрастающем преобразовании шкалы измерения результатов наблюдений. Другими словами, он является адекватным в порядковой шкале измерений.

Данный коэффициент позволяет установить лишь то, растут ли обе переменные или уменьшаются одновременно. Если разброс данных слишком велик, этот коэффициент не даст точного значения корреляции.

Условия использования критерия Спирмена следующие.

• 1. Сравниваемые переменные должны быть полз’чены в порядковой (ранговой) шкале, но могут быть измерены также в шкале интервалов и отношений.
• 2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.
• 3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных X и Y должно быть одинаковым.