Эквивалентность процентных ставок r и d

Принцип эквивалентности процентных ставок широко применяется в финансовом и инвестиционном анализе. Его используют при сравнении условий сделок, замене одного вида ставок на другой, определении эффективности операций и т. д.

В общем случае две различные процентные ставки считаются эквивалентными, если их использование при одинаковых условиях сделки приводит к одному и тому же финансовому результату.

Вывод формул эквивалентности базируется на равенстве соответствующих множителей наращения.

(8.11).

С учетом (11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности примут следующий вид:

а) временна? я база ставок одинакова и равна В (360 или 365 дней).

(8.12).

(8.13).

б) временна? я база ставки r равна 365 дням, a d — 360 дням.

(8.14).

(8.15).

В практике финансового управления более важную роль играют сложные проценты, которым в дальнейшем и будет уделено основное внимание.

2. Сложные проценты. Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки, либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т. д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

Наращение по сложным процентам

Рассмотрим технологию наращения по сложным процентам на следующем примере.

Пример 8.6. Сумма 100 ден. ед. помещена в банк на депозит сроком на три года. Ставка по депозиту — 8% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции к известным величинам относятся: первоначальная сумма вклада PV = 100, процентная ставка r = 8% и срок п = 3 года.

Определим будущую величину вклада па конец первого периода:

Соответственно для второго периода величина FV:

Для последнего периода (и = 3):

Схема наращения по методу сложных процентов для данного примера показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Схема наращения по сложным процентам.

Как следует из рис. 8.3, наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов. Процесс реинвестирования полученных доходов получил название капитализации.

Общее соотношение для определения будущей величины имеет следующий вид:

(8.16).

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и п. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1 174 313,45!

На рис. 8.4 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 8.4. Рост суммы в 1,00 при разных ставках сложных процентов.

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться несколько раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т. д. В этом случае соотношение (8.16) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

(8.17).

где m — число периодов начисления в году.

Допустим, что в предыдущем примере проценты выплачиваются ежеквартально (m = 4). Определим FV3.

Так,

Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту, но формуле.

(8.18).

где r — номинальная ставка; т — число периодов начисления.

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate, EPR), или ставкой сравнения^[1].

Рассмотрим следующий пример.

Пример 8.7. На годовой депозит 10 000 ден. ед. производится ежеквартальное начисление сложных процентов по ставке 2,5% (т.е. из расчета 10% годовых). Будет ли эквивалентной инвестицией депозит 10 000 ден. ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых раз в году?

Осуществим расчет эффективной ставки для обеих операций:

Таким образом, условия помещения суммы 10 000 ден. ед. на депозит сроком на год иод 10% годовых, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

В свою очередь, если известна величина EPR, номинальная ставка процентов г может быть определена как.

(8.19).

• [1] В литературе можно встретить другое обозначение — APR (annual percentage rate).