Количественные характеристики и схемы оценки рисков в условиях неопределенности

Матрицы последствий и матрицы рисков

Понятие риска предполагает наличие рискующего; назовем его ЛПР.

Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции в условиях неопределенности. При этом у ЛПР есть несколько возможных решений г = 1, 2, т, а реальная ситуация неопределенна и может принимать один из вариантов ] = 1,2, п. Пусть известно, что если ЛПР примет решение г, а ситуация примет вариант}, то будет получен доход Цц. Матрица (5 = (Дя) называется матрицей последствий (возможных решений).

Оценим размеры риска в данной схеме.

Пусть принимается решение г. Очевидно, если бы было известно, что реальная ситуация будет _/, то ЛПР принял бы решение, дающее доход ц1 = шахцУ). Таким образом, существует реальная возможность недополучить доход, и этому неблагоприятному исходу можно сопоставить риск Гц, размер которого целесообразно оценить как разность.

Матрица Я = (гу) называется матрицей рисков2.

Пример 9.1. Используя формулу (9.1), составьте матрицу рисков й = (гу) по заданной матрице последствий:

Решение. Очевидно, </| = шах ц, = 8; аналогично ^ = 5, = 12. Следовательно, матрица рисков имеет вид.

Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности

Полная неопределенность означает отсутствие информации о вероятностных состояниях среды («природы»), например о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации; в лучшем случае известны диапазоны значений рассматриваемых величин. Рекомендации по принятию решений в таких ситуациях сформулированы в виде определенных правил (критериев). Рассмотрим основные из них.

Критерий (правило) максимакса По этому критерию определяется вариант решения, максимизирующий максимальные выигрыши, например доходы для каждого варианта ситуации. Это критерий крайнею («розового») оптимизма, по которому наилучшим является решение, дающее максимальный выигрыш, равный шах (шах</, o,). Рассматривая решение/,.

' j

предполагают самую хорошую ситуацию, приносящую доход а, = шах q, j, а затем выбирают решение с наибольшим а,.

Пример 9.2. Для матрицы последствий в примере 9.1 выберите вариант решения по критерию максимакса.

Решение. Находим последовательность значений в/ = тах.

Я|= 8, U2 — 12, из = 10, " 4 = 8. Из полученных значений находим наибольшее: а2 = 12. Следовательно, критерий максимакса рекомендует принять второе решение (t = 2).

Правило Вальда(правило максимина, или критерий крайнего пессимизма). Рассматривая решение i, будем полагать, что на самом деле ситуация складывается самая плохая, т. е. приносящая самый малый доход: 6, = min Цц. Но теперь выберем решение ig с наибольшим /;, 0. Итак, правило Вальда рекомендует принять решение/^ такое, чтоб, = шах 6,; = max (min qv).

Пример 9.3. Для матрицы последствий в примере 9.1 выберите вариант решения по критерию Вальда.

Решение. В примере 9.1 имеем 6] = 2, ¿2 = 2, /" з = 3,64 = 1. Теперь из этих значений выбираем максимальное 63 = 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять третье решение (/ = 3).

Правило Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Этот критерий аналогичен предыдущему критерию Вальда, но ЛПР принимает решение, руководствуясь не матрицей последствий 0, а матрицей рисков И = (г^). По этому критерию лучшим считается решение, при котором максимальное значение риска будет наименьшим, т. е. равным ппп (шах г,-.).

Рассматривая решение /, предполагают ситуацию максимального риска г, — = тах?;, — и выбирают вариант решения ц

}

с наименьшим г, = пни о, = ппп (шах г,).

Пример 9.4. Для исходных данных в примере 9.1 выберите вариант решения в соответствии с критерием Сэвиджа.

Решение. Рассматривая матрицу рисков находим последовательность величин г, = П1ахг/: г, = 8, г2 = 6, г3 = 5, гл = 7.

Из этих величин выбираем наименьшую: г3 = 5. Значит, правило Сэвиджа рекомендует принять третье решение (/' = 3). Заметим, что это совпадает с выбором по критерию Вальда.

Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптимистический подходы к ситуации). По данному критерию выбирается вариант решения, при котором достигается максимум выражения с1 = (Хтп ц$ + (1 — Х) тах<7у}, где О < X < 1. Таким образом, этот критерий рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом между крайним оптимизмом и крайним пессимизмом. При X = О критерий Гурвица совпадает с максимаксным критерием, а при X = 1 — совпадает с критерием Вальда. Значение X выбирается из субъективных (интуитивных) соображений.

Пример 9.5. Для приведенной в примере 9.1 матрицы последствий выберите наилучший вариант решения на основе критерия Гурвица при X = ½.

Решение. Рассматривая матрицу последствий (2 по строкам, для каждого < вычисляем значения с, — = -шш^ + -тах9^. Например, С] = (½) o 2 + (½) o 8 = 5; аналогично находятся с2 = 7; С3 = 6,5; С4 = 4,5. Наибольшим является с2 = 7. Следовательно, критерий Гурвица при заданном X = ½ рекомендует выбрать второй вариант (г = 2).