Равновесие по нэшу

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • определение равновесия по Нэшу (как в чистых, так и в смешанных стратегиях);
• • основные свойства равновесия по Нэшу;
• • теоремы, формулирующие условия существования равновесия по Нэшу в стратегических играх;
• • определение понятия «равновесие дрожащей руки» ;

уметь

• решать задачу нахождения равновесия по Нэшу в биматричных играх (в том числе графическим методом для игр);

владеть

• • простейшими методами анализа свойств биматричных игр 2×2 с использованием результатов их графического решения;
• • системой представлений как о возможностях, так и об объективных проблемах практического применения понятия равновесия по Нэшу;
• • терминологическим аппаратом, позволяющим самостоятельно осваивать научную и профессиональную литературу, использующую понятие равновесия, но Нэшу и его свойства.

В данной главе мы рассмотрим основной объект исследования теории бескоалиционных игр, получивший название равновесия по Нэшу. Данное понятие было предложено выдающимся американским математиком Джоном Нэшем (John Forbes Nash) сначала в его диссертации, а затем в серии работ, вышедших в 1950—1953 гг.^[1].

^ Ситуацию s* в игре Г = (I, { }_iII, { (s)}_iII) будем называть равновесием, но Нэшу (в чистых стратегиях), если для любого игрока i I I

(3.1).

Другими словами, ситуация равновесия по Нэшу — это такая ситуация в игре, от которой ни одному из игроков невыгодно отклоняться поодиночке (при условии что остальные участники игры придерживаются своих стратегий, образующих равновесие по Нэшу).

Рассмотрим отображения, которые для каждого игрока i I I для каждой возможной подситуации I ставят в соответствие некоторую стратегию , являющуюся его наилучшим ответом для данной подситуации:

(3.2).

Отображения возвращающие наилучшие ответы на подситуации, также называют отображениями отклика игрока. Из неравенства (3.1) следует, что ситуация равновесия по Нэшу образуется стратегиями, которые возвращаются отображениями отклика всех игроков, т. е. ситуация равновесия по Нэшу — это ситуация, образуемая наилучшими ответами каждого игрока на наилучшие ответы остальных:

(3.3).

В свою очередь, из условия (3.3) вытекают следующие свойства.

• 1. Строго доминируемые стратегии и НЛО-стратегии не могут входить в равновесие по Нэшу.
• 2. Стратегии, образующие равновесие по Нэшу, не могут быть исключены в процессе удаления строго доминируемых стратегий и рационализации игры.

Одновременно следует подчеркнуть, что слабо доминируемые стратегии перечисленными свойствами не обладают. Несложно сконструировать пример равновесия по Нэшу, в котором будут присутствовать одна или несколько слабодоминируемых стратегий.

Для рассмотрения свойств равновесия по Нэшу вернемся к игре «дилемма заключенного» (см. табл. 2.1).

Как нетрудно заметить, данная игра имеет единственное состояние равновесия по Нэшу. Это ситуация (С, С), в которой оба игрока сознаются и получают по пять лет тюремного наказания. Фундаментальным качеством ситуации (С, С) является именно то, что от нее действительно никому невыгодно отклоняться поодиночке. Если один из заключенных попытается сменить стратегию с «сознаться» на «молчать», то этим он только ухудшит свое положение — вместо пяти лет наказания получит десять — и улучшит положение другого игрока, которого отпустят.

Нельзя не признать, что ситуация равновесия в данном примере является неэффективным исходом для заключенных. Ведь в ситуации (М, М) — оба молчат — их полезности выше (срок наказания составляет один год против пяти). Однако ситуация (М, М) обладает тем недостатком, что она неустойчива. В ней каждому из игроков выгодно сменить стратегию «молчать» на «сознаться», при условии что другой игрок продолжает придерживаться стратегии «молчать». В этом случае наказание для предавшего становится нулевым, правда, резко возрастает для преданного: с года до десяти.

Таким образом, дилемма заключенного достаточно ярко отражает тот факт, что.

равновесие по Нэшу — необязательно «самая выгодная» ситуация для игроков, это устойчивая ситуация.

Также на примере дилеммы заключенного достаточно наглядно может быть продемонстрировано соотношение равновесия по Нэшу с таким фундаментальным понятием экономики, как оптимальность по Парето^[2]. Напомним, что распределение называют оптимальным, но Парето (Парето-оптимальным), когда полезность (благосостояние) ни одного из участников этого распределения не может быть увеличена без уменьшения полезности какого-либо другого участника.

Нетрудно заметить, что в дилемме заключенного ситуация равновесия, но Нэшу является единственной Парето-неоптимальной: полезность участников «безболезненно для каждого из них» можно улучшить, перейдя от ситуации (С, С) к ситуации (М, М), но последняя не является равновесием по Нэшу в силу своей неустойчивости. С этой точки зрения дилемма заключенного является классическим примером, демонстрирующим различия между понятиями «равновесие по Нэшу» и «оптимальность по Парето» .

Продемонстрируем возможности практического использования концепции равновесия по Нэшу на примере сюжетов из литературного приложения.

• [1] За свой вклад в теорию некооперативных игр Дж. Нэш в 1994 г. получил Нобелевскую премию по экономике
• [2] Введено итальянским экономистом и социологом Вильфредо Парето (1848−1923)