Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса (уравнения Хопфа)

Сделаем некоторые предварительные замечания по поводу используемой терминологии. Дивергентной формой записи квазилинейного уравнения будем называть уравнение.

Наряду с ней будем применять характеристическую форму записи уравнения.

Переход из дивергентного вида к характеристическому не составляет труда. По известному характеристическому виду не всегда легко построить дивергентный. Известно, что если уравнение имеет дивергентный вид, то существует соответствующий ему закон сохранения.

Конечно, закон сохранения существует лишь в случае, если сходится интеграл J и (х, 0 )dxK

Наряду с линейным уравнением переноса в данном параграфе будем рассматривать также квазилинейные уравнения. Простейшее квазилинейное уравнение гиперболического типа — уравнение Хопфа (10.9). Оно интересно тем, что моделирует уравнения газовой динамики. Запишем его в двух формах. Первая форма — дивергентная:

Отметим, что дивергентная форма записи отражает наличие некоторого закона сохранения. В случае уравнения Хопфа это закон сохранения импульса. Другая форма — характеристическая:

Отмстим, что для линейных уравнений с постоянными коэффициентами нет принципиальной разницы между характеристической и дивергентной формами. Для уравнений с переменными коэффициентами эта разница возникает даже в линейном случае. В качестве примера можно рассмотреть приведенные выше уравнения модели системы образования. При использовании различных форм записи для построения разностных схем возникают численные методы с разными свойствами. Рассмотрим теперь простейшие разностные схемы для уравнения Хопфа (10.9) или (10.12). Будем рассматривать в основном схемы, построенные при использовании дивергентной формы записи (10.11).

Обобщение на случай уравнения Хопфа схемы Лакса имеет вид.

Схема условно устойчива при выполнении условия Куранта (точнее, обобщения условия Куранта) — тах|и" |<1. Здесь и ниже, как и ранее.

h т

в формуле (10.12),/ = 0,5и². При этом предполагается, что течение достаточно гладкое, момент градиентной катастрофы еще не наступил, в решении нет ударных волн и других разрывов.^[1]

Схема Куранта — Изаксона — Риса. Обобщение схем КИР на квазилинейный случай (при использовании дивергентной формы записи уравнений) очевидно. Расчетные формулы имеют вид.

х — ;

Схема устойчива при выполнении условия Куранта — max | и" | < 1.

п т

Обобщение схемы Лакса — Вендроффа (схема «предиктор — корректор»). Для квазилинейных уравнений (а также линейных уравнений с переменными коэффициентами, неоднородных уравнений и т. п.) схема Лакса — Вендроффа становится более сложной, чем описанная выше для случая линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Для ее построения необходимо ввести так называемые полуцелые точки (точки с дробными индексами).

Схема строится в два этапа. На первом этапе (предиктора) значения в полуцелых точках вычисляются по приведенной выше схеме — обобщению на квазилинейный случай схемы Лакса:

На втором этапе (корректора) используется схема «чехарда» (трехслойная схема на крестообразном шаблоне, которая нс входит в семейство (10.10)):

Схема Лакса — Вендроффа принадлежит к так называемым центральным схемам. Ее шаблон симметричен. На первом этапе рассчитываются значения сеточной функции в полуцелых точках шаблона на промежуточном слое (t_m_ ½, x_m_i/₂), (t_n+½, x_m+/₂)i на втором этапе вычисляется решение на верхнем слое в точке (?_я+1, х_ш). Схема устойчива при выполнении условия Куранта у max | м" | < 1.

п т

Аналогично строятся схемы Лакса — Вендроффа для линейных неоднородных уравнений.

Нецентральные схемы Мак-Кормака (схемы тина «предиктор — корректор»). Как и приведенная выше схема Лакса — Вендроффа, схемы МакКормака состоят из двух этапов. Рассмотрим построение одной из схем Мак-Кормака для однородного квазилинейного уравнения (10.11). Первый этап вычисления сеточной функции (предиктор) имеет вид.

т.е. используется схема «явный правый уголок». Второй этап (корректор):

Таким образом, расчет на первом этапе — по схеме «правый уголок», на втором — по схеме «левый уголок».

Другая схема Мак-Кормака имеет вид.

(предиктор — «левый уголок»), а на этапе корректора используется схема «правый уголок»:

Такие разностные схемы называют нецентральными. К их преимуществам относят отсутствие полуцелых индексов, более простую постановку граничных условий. В линейном случае схемы Мак-Кормака совпадают со схемой Лакса — Вендроффа. Схемы имеют второй порядок аппроксимации по обеим переменным, обе схемы устойчивы при выполнении условия т.

Куранта — max | w" | < 1. п т

Схема Русанова (центральная схема 3-го порядка точности). Рассмотрим построение схемы Русанова¹ на примере уравнения Хонфа (10.11). Для построения схемы Русанова вводятся не только полуцелые точки, но и еще два слоя промежуточных точек с дробными индексами.

На первом этапе схемы Русанова (переход к слою с индексом 1/3) производится расчет по схеме Лакса:

Рождественский Б. ЛЯненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения в газовой динамике.

а расчетные формулы третьего этапа схемы Русанова имеют следующий вид:

Последнее слагаемое третьего этапа вводится для обеспечения устойчивости схемы (член, пропорциональный разностной аппроксимации 4-й производной).

Схема является условно устойчивой при выполнении условия 4а² — а⁴ < < со < 3, а = cx/h.

Схема Уорминга — Кутлера — Ломакса (нецентральная схема 3-го порядка точности), как и предыдущие, тоже относится к схемам, расчет по которым ведется в несколько этапов. Первый этап выглядит следующим образом:

Второй этан:

аналогично и для точки т + 1:

Третий этап:

Последний член добавляется для устойчивости схемы, которая является условно устойчивой.

Неявная схема Бима — Уорминга имеет вид.

Верхний индекс у выписанных частных производных означает, что вместо самих производных используются конечно-разностные аппроксимации.

Рассмотрим алгоритм расчетов по схеме Бима — Уорминга. Линеаризуем функцию /," ⁺¹:

df ^ (tⁿ, х).

В формуле присутствует частная производная F" =-—-——. Здесь мы.

ди

воспользовались тем, что функция / не зависит явно от времени, иначе формулы будут выглядеть несколько по-другому. Тогда будем иметь равенство.

Проведя аппроксимацию производных по пространству центральными разностями, получим неявную разностную схему.

Эту разностную схему можно переписать в эквивалентном виде. Умножим обе части последнего равенства на шаг по времени. Все величины на известном временном слое перенесем в правую часть. Тогда получим.

В результате для аппроксимации уравнения Хопфа получается система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, алгоритм численного решения которой — один из вариантов трехточечной прогонки.

• [1] О соответствующих законах сохранения при использовании дивергентных методови приложениях групповых методов исследования систем уравнений см. работу: Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.