Анализ решений в условиях вероятностной неопределенности и риска

Как уже отмечалось ранее, задача принятия решения в условиях риска является частным случаем более общей задачи — принятия решения в условиях вероятностной неопределенности. Однако имеющиеся между ними различия требуют отдельного изучения этих классов задач. Этим обусловлено применение различных критериев оптимальности к выбору решения. Далее проведен подробный анализ каждой из задач.

Анализ решений в условиях вероятностной неопределенности.

Вернемся к рассмотренной ранее в параграфе 14.2 модели принятия решений в условиях неопределенности. В рамках данной модели задается:

• • множество допустимых альтернатив X, X = {x_v …, х_т}_у из элементов которого ЛПР делает выбор;
• • множество S = {5,…, sj состояний природы или сценариев, один из которых будет иметь место в будущем;
• • некоторый критерий выбора решений V (j), основанный на результатах решения / в случае реализации различных сценариев f (s_n)_y …

и на представлениях ЛПР о возможности этих сценариев;

• выигрыш и{х_ху $?), определяющий последствия для каждого действия х, и для каждого сценария s_}.

Задачу принятия решений можно рассматривать как антагонистическую игру двух лиц^[1]. ЛПР и природа рассматриваются как два игрока в антагонистической игре, альтернативы и состояния природы в этом случае являются стратегиями соответствующих игроков. Выигрыш в сформировавшейся ситуации соответствует функции выигрыша в антагонистической игре.

Таким образом можем представить алгоритм действий.

• 1. ЛИР выбирает одну из возможных альтернатив.
• 2. Природа выбирает одно из своих состояний.
• 3. В результате этих выборов формируется ситуация, т. е. пара «альтернатива — состояние природы». После формирования ситуации агент может получить соответствующий этой ситуации выигрыш, записанный в матрице выигрышей.
• 4. Матрица выигрышей может быть использована для нахождения оптимального решения в соответствии с выбранным критерием оптимальности.

Однако, в отличие от теории игр, где делается предположение о том, что оба игрока рациональны и действуют в своих собственных интересах, в теории принятия решений эти предположения нарушаются для одного из игроков — природы. В данном контексте природа — это пассивный игрок, который выбирает свои стратегии случайным образом (используется случайная функция). Эти изменения приводят к тому, что критерии оптимальности, разработанные для теории игр, не могут быть использованы в данном случае.

Еще один важный элемент может быть добавлен в теорию принятия решений. Как правило, ЛПР имеет некоторую информацию, которая может быть принята во внимание при выборе альтернативы и оценке состояния природы (ранее наличие этой информации упоминалось в параграфе 14.2, где речь шла о субъективных вероятностях, которыми ЛПР наделяет тот или иной сценарий). Эта информация может быть использована при выборе предполагаемого распределения состояний природы. Такое распределение может быть названо априорным распределением.

Априорное распределение, как правило, выбирается субъективно, и этот выбор может зависеть от опыта, эмпирических данных или интуиции.

Определение

Вероятности, которые задаются априорным распределением, для различных состояний природы будем называть априорными вероятностями.

Вернемся к задаче, стоящей перед ЛПР. Она состоит в том, чтобы принять какое-либо решение, т. е. фактически выбрать альтернативу из множества возможных альтернатив X.

Каждое из этих действий может рассматриваться как чистая стратегия. Однако при многократном принятии решений не всегда удается ограничиться использованием только чистой стратегии.

Использование смеси чистых стратегий в соответствии с некоторым законом распределения вероятностей X = (X_v …, Х_т), определенным на множе;

т

стве альтернатив (X, F (x)), X ^ ⁼ 1″ дает результаты, которые лучше оиисы;

/-1.

вают реальную ситуацию.

В этом случае будем говорить о смешанной стратегии или рандомизированном действии. В случае использования смешанной стратегии каждой альтернативе (чистой стратегии) соответствует вероятность X_v …, Х_т. Смешанныс стратегии образуют бесконечное множество альтернатив, каждый элемент которого определяется некоторым распределением А.

Можно определить случайную величину и (х_у) на (5, F (S)), принимающую значения u (x_jt Sj). Значения величин и (х_р Sj), которые в теории игр соответствуют значениям функции выигрыша, задаются из эвристических или субъективных соображений.

В задачах принятия решений смешанная стратегия X = (А,…, Х_т) может быть реализована одним из следующих способов.

• 1. Вероятностный способ. ЛПР выбирает одну из альтернатив случайно, таким образом, что А; есть вероятность выбора альтернативы х;.
• 2. Физическая смесь стратегий. Этот случай возможен, когда происходит смешивание альтернатив (эта возможность определяется физической природой альтернатив). В этом случае вектор X = (А,…, Аш) соответствует физической смеси существующих альтернатив (чистых стратегий), в которой А, — доля г-й чистой стратегии в смеси.

3. Статистический способ. Данный способ реализуется в том случае, когда решение принимается многократно. Тогда г-я компонента вектора, А показывает частоту использования г-й чистой стратегии. Каждая задача принятия решений имеет свой критерий оптимальности, т. е. некоторое правило, по которому численно определяется, какая из альтернатив является лучшим выбором. Критерий оптимальности в каждом конкретном случае определяет упорядочивание всех альтернатив (множества X) по предпочтению. При этом он полностью зависит от информации о состояниях окружающей среды (природы). Критерии принятия решений можно разделить на две группы: критерии, позволяющие сделать выбор в условиях определенности, т. е. при наличии связи между принятым решением и его последствиями, и критерии, работающие в условиях неопределенности, когда ЛПР не может знать всю информацию о состоянии среды.

Принятие решений в условиях определенности является наиболее простым классом задач принятия решений. ЛПР может точно предсказать последствия своего выбора. Это означает, что число состояний природы сводится к одному п = 1. Поэтому исходя из предположения о том, что ЛПР действует рационально, выбирается то действие, которое дает наибольшее значение функции полезности.

Например, если в рассмотренной ранее задаче о вложении денег (пример постановки задачи принятия решений) определенно известно, что будет иметь место стабильное состояние экономики, то из трех альтернатив с полезностью 5, 3 и 7 выбирается та, которая соответствует максимальной полезности 7, т. е. соответствует открытию депозита в банке.

Однако, как правило, при принятии решения следует учесть возможную неопределенность, т. е. ЛПР не знает точно состояние природы. При решении такой задачи используются следующие критерии: критерий равновозможных состояний (критерий Лапласа), критерий максимина Вальда, критерий пессимизма — оптимизма Гурвица, критерий минимакса сожалений Сэвиджа^[2].

Критерий среднего выигрыша предполагает задание вероятности состояния окружающей среды р_с Эффективность выбора альтернативы можно оценить как математическое ожидание полезностей по всем возможным состояниям окружающей среды.

Оптимальному состоянию системы будет соответствовать оптимальное значение эффективности и*

Критерий равновозможных состояний, критерий Лапласа — основан на предположении Лапласа: если вероятности состояний абсолютно неизвестны, то они предполагаются равными.

Согласно этому критерию, альтернатива х_к является оптимальной, если выполняется

Из (14.14) видно, что выбирается та альтернатива, для которой выполняется условие о том, что сумма значений полезности по всем состояниям природы максимальна.

Пример (продолжение примера постановки задачи принятия решений). В задаче с вложением денег для каждого действия вычисляются суммарные полезности:

Можно заметить, что альтернатива х_{ (купить облигации) дает максимальное значение суммарной полезности и эта альтернатива является оптимальной.

Однако критерий Лапласа также имеет недостатки. Представим два основных недостатка данного метода. Предположение о том, что все состояния природы равновероятны, не всегда обосновано. Вторым недостатком является то, что при вычислении суммы полезностей может наблюдаться эффект компенсации малых значений полезности большими. Для примера можно рассмотреть таблицу полезностей (табл. 14.6). По ней видно, что ЛПР имеет две альтернативы, а природа может быть в десяти возможных состояниях.

На первый взгляд, кажется, что альтернатива х_{ является предпочтительней, чем х₂, так как сумма полезностей для первой альтернативы больше, чем для второй. Однако функция полезности для х_{ распределена не;

Таблица 14.6

Таблица полезностей в задаче с вложением денег

равномерно, поэтому при выборе х_{ ЛИР рискует не получить ничего. В то же время при выборе х₂ он имеет гарантированный выигрыш, равный 9,8.

Критерий максимина Вальда — это правило максимизации минимального дохода. Каждому возможному решению соответствует минимальное значение полезности. Согласно этому критерию, для каждой строки (каждой альтернативы) матрицы полезности определяется минимальное значение полезности. Оптимальной альтернативой хк является действие, для которого выполняется Для удобства работы с вычислениями введем обозначение и_к = min u_kj.

j-1…п '.

Пример (продолжение примера постановки задачи принятия решений).

Для изучаемого примера о вложении денег можно вычислить.

Отсюда получаем шах (м_1? u_v и₃) = max (3, -3, 5) = 5, что соответствует альтернативе х₃. Следовательно, оптимальная альтернатива х₃ — это положить деньги в банк на депозит.

Критерий максимина является перестраховочным, поскольку природа не может быть сознательным противником. По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния природы. Логическая основа критерия заключается в следующем. Предполагается, что ЛПР не может столкнуться с более худшим результатом, чем тот, на который он ориентируется. Критерий максимина используется крайним пессимистом, не желающим идти ни на какой риск. Поэтому этот критерий иногда называют критерием крайнего пессимизма.

Главный недостаток критерия Вальда состоит в том, что при выборе решения учитывается только наихудший вариант.

Критерий максимакса — это правило максимизации максимума доходов. Каждому возможному решению соответствуют максимальные значения полезности. Можно записать.

Тогда в качестве оптимальной альтернативы можно выбрать ту, на которой достигается максимальное значение полезности, т. е.

Данный критерий является самым оптимистическим, однако при этом ЛПР должен принять во внимание, что риск, сопровождающий выбранную альтернативу, тоже будет максимальным.

Пример (продолжение примера постановки задачи принятия решений).

Применим критерий максимакса к примеру о вложении денег.

Отсюда видно, что максимальное значение полезности и* = maxи (х_{) =.

i

= 12 и оно достигается на альтернативе х₂. Это означает, что оптимальным действием будет вложение денег в акции.

Критерий минимакса сожалений Сэвиджа — под сожалением понимаются потери, которые появляются в результате упущенных возможностей. Предположим, что природа находится в состоянии Sj. Мера сожаления для альтернативы х_к и состояния среды (природы) Sj определяется следующим образом.

Иными словами, мера сожаления Au_kj определяется как разность между максимальным элементом в столбце матрицы полезности и самим значением полезности u_kj в этом столбце. Эта мера сожаления показывает, какой максимальный дополнительный выигрыш может быть получен, если для состояния природы Sj вместо альтернативы х_к выбрать оптимальную альтернативу для этого состояния. Мера сожалений (14.16) всегда положительна. Альтернатива^ является оптимальной, если.

Для принятия решений используется критерий минимакса (нахождение минимума из максимальных значений), но не для исходной матрицы, а для матрицы сожалений. Построенная по этим правилам новая матрица {г~} (пример — табл. 14.4) также называется матрицей риска, так как каждое значение {г^} выражает сожаление ЛПР по поводу того, что он не выбрал наилучшее решение относительно состояния окружающей среды Пример (продолжение примера постановки задачи принятия решений). Если применить этот критерий для задачи вложения денег, то получим следующий результат (табл. 14.7).

Таблица 14.7

Матрица сожалений для примера вложения денег.

Введем обозначения C_f = max Дu_i} и получим.

Минимум из величин min{Cj, С₂, С₃} = min{3, 9, 6} = 3, что соответствует альтернативе x_v следовательно, в данном случае оптимальным решением будет вложить деньги в облигации.

Критерий минимального сожаления или критерий Сэвиджа состоит в применении критерия минимакса (независимо от того, какой смысл выражает величина {и^ — доходы или потери) к матрице сожалений. Фактически для принятия решений используется критерий минимакса (минимум из максимальных значений), но не для матрицы полезности, а для матрицы сожалений.

Соответствующая оценочная функция (при условии, что исходная матрица является матрицей доходов) имеет вид.

Критерий Гурвица является компромиссным критерием и использует линейную комбинацию оптимистического и пессимистического подходов. Рассмотрим величины.

Согласно критерию Гурвица, альтернатива х_х является оптимальной, если для нее выполняется.

где коэффициент р е [0, 11 называется коэффициентом пессимизма.

Критерий Гурвица основан на следующих двух предположениях: природа может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью р и в самом выгодном — с вероятностью (1 — р).

Можно заметить, что если р = 1, то критерий Гурвица сводится к критерию максимина. Если р = 0, то критерий Гурвица сводится к критерию максимакса. Выбор коэффициента р полностью определяется агентом, принимающим решение.

Пример (продолжение примера постановки задачи принятия решений).

Если в задаче о вложении денег (см. табл. 14.6) использовать критерий Гурвица с параметром р = 0,4, то.

значения щ i = 1, 2,3, совпадают со значениями, полученными по критерию Вальда (14.15).

Тогда значения, получаемые при помощи формулы (14.17) для каждой из альтернатив, будут следующими:

Видно, что максимальное значение критерия достигается на альтернативе x_v которая рекомендует ЛПР купить облигации.

• [1] HillerF. S., Liebennan G.J. Introduction to operation research. Seventh edition. McGraw-HillSeries in Industrial Engineering and Management Science, 2009. 1237 p.
• [2] Уткин Л. В. Анализ риска и принятие решений при неполной информации. СПб.: Наука, 2007.