Частотные характеристики цифровых фильтров

Важным показателем цифровых фильтров является частотный коэффициент передачи. Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра легко определить, если входной сигнал условно представить в виде дискретной гармоники единичной амплитуды (рис. 6.28). Выборки гармонического сигнала u (t) = cos со?, взятые с интервалом дискретизации At, описываются дискретной последовательностью

Рис. 6.28. Дискретная гармоника.

Положим, что на вход линейного цифрового фильтра подается дискретная гармоническая последовательность (6.48), бесконечная во времени (k = = 0, ±1, ±2, …). Используя формулу дискретной свертки (6.29), запишем т-й отсчет выходного сигнала цифрового фильтра в виде.

Просуммируем члены ряда по новому индексу п = т — k:

Из формулы (6.50) следует, что выходной сигнал цифрового фильтра имеет структуру дискретной гармонической последовательности с частотой, равной частоте со.

С помощью формулы (4.2) определим частотный коэффициент передачи цифрового фильтра. Поделив соотношение (6.50) на выражение (6.49) и учитывая, что в формулах используются т-е отсчеты, находим комплексный частотный коэффициент передачи фильтра:

Это соотношение позволяет сделать четыре очень важных вывода.

• 1. Частотные характеристики цифровых фильтров — непрерывные функции частоты.
• 2. Частотный коэффициент передачи цифрового фильтра К_п(со), как и спектр дискретного сигнала 5_г(со) (6.15), имеет периодическую структуру с периодом, равным частоте дискретизации со, = 2n/At. Периодическая структура частотного коэффициента передачи позволяет или выделить, или подавить отдельные составляющие спектра дискретного входного сигнала. Первый низкочастотный период коэффициента передачи называют главным частотным диапазоном.
• 3. Функция /С_ц(со) является дискретным преобразованием Фурье импульсной характеристики фильтра, представляемой последовательностью дельта-функций:

4. Для фильтров с вещественными коэффициентами импульсной реакции h{nAt) функция АЧХ является четной, а функция ФЧХ — нечетной. С учетом этого частотные характеристики фильтров обычно задаются только на интервале положительных частот (0, со,) главного частотного диапазона. Значения функций на интервале отрицательных частот являются комплексно-сопряженными со значениями на интервале положительных частот.

Сравнив формулы (6.31) и (6.51), можно заметить, что для получения частотного коэффициента передачи достаточно в формуле (6.31) сделать подстановку z = e^jidAt:

Пример 6.19^[1][2]

Используя формулу Эйлера, окончательно запишем

Пример 6.20.

Рассчитаем и построим АЧХ цифрового фильтра, структурная схема которого показана на рис. 6.29, а для фазовых значений соДt = 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Рис. 6.29. Характеристики цифрового фильтра:

а — структурная схема; б — АЧХ.

Решение

Поскольку алгоритм работы подобного фильтра у_к = и_к — и_к, то 2-преобразование выходных отсчетов фильтра будет.

Тогда системная функция фильтра.

Сделав замену 2 = e^iaAI, находим частотный коэффициент передачи:

Как и в линейных аналоговых фильтрах, модуль частотного коэффициента передачи представляет АЧХ цифрового фильтра:

График АЧХ, построенный в соответствии с этой формулой, показан на рис. 6.29, 6, где, но оси абсцисс отложен дискретный фазовый угол соДД Пример 6.21.

Нерекурсивный фильтр 2-го порядка работает по алгоритму.

Определим и построим частотную характеристику цифрового фильтра. Проанализируем работу заданного фильтра при прохождении через него дискретной гармоники вида (6.49), имеющей интервал дискретизации Дt = 7t/(3co). Решение

Из алгоритма работы фильтра следует, что импульсная характеристика {h_k} = = {1, 1, 1}. Тогда системная функция фильтра //(2) = 1+2 ¹ + z ².

Сделав замену z = e^ja)At, находим частотный коэффициент передачи:

Как и в линейных аналоговых с|>ильтрах, модуль частотного коэффициента передачи представляет АЧХ цифрового фильтра:

Построенный по этому выражению график АЧХ показан на рис. 6.30, а, где по оси абсцисс отложен дискретный фазовый угол соДГ. Заметим, что одному заданному интервалу дискретизации At соответствует фазовый угол соД? = 60°.

Рис. 6.30. К примеру 6.21 расчета характеристик цифрового фильтра:

а — АЧХ; б — сигнал на входе; в — сигнал на выходе Фазочастотная характеристика фильтра определяется по известной формуле.

Пусть на вход данного фильтра подается дискретная гармоника (рис. 6.30, б). В этом случае цифровая входная последовательность будет иметь вид.

В соответствии с заданным алгоритмом выходной сигнал фильтра.

Как следует из значений выходных отсчетов, ей отвечает дискретная гармоника гой же частоты, что и на входе. Амплитуда выходной гармоники равна удвоенной амплитуде входной гармоники, а начальная фаза смещена на 60° (т.е. на угол, равный одному интервалу дискретизации) в сторону запаздывания (рис. 6.30, в).

При частотном анализе фильтров принято значение интервала дискретизации At принимать за единицу, что определяет задание частотных характеристик на интервале (0, тс) но частоте со или (0, ½) но частоте/. При использовании БПФ вычисление спектров осуществляют в положительных частотах в интервале (0, 2л) (от 0 до 1 Гц), где комплексно-сопряженная часть спектра главного диапазона (отл до 0) занимает интервал (л, 2л). При выполнении БПФ число точек спектра равно числу точек входной функции, а следовательно, отсчет на частоте 2л, комплексно-сопряженный с отсчетом на частоте 0, отсутствует. При нумерации точек входного сигнала от 0 до N отсчет принадлежит точке N + 1 — начальной точке следующего периода, а шаг по частоте равен 2n/(N + 1).

Программное обеспечение БПФ, имеющееся во многих системах компьютерной математики, допускает любое число точек входной функции, при этом для нечетного значения N частоте п соответствует отсчет на точке (N + 1)/2, не имеющий сопряженного отсчета, а при четном значении N отсутствует отчет на частоте л (она располагается между отсчетами k = N/2 и N/2 +1). Отсчетам с номерами k главного диапазона БПФ (за исключением k = 0) соответствуют комплексно-сопряженные отсчеты N + 1 — k (за исключением k = (JV+ 1)/2 при нечетном N).

• [1] Алгоритм нерекурсивной цифровой фильтрации имеет следующий вид: yk == 10м* + 5ик_{ + 2ик₂. Найдем импульсную характеристику, системную функцию и частотный коэффициент передачи цифрового фильтра. Решение С помощью формул (6.30), (6.31) и (6.51) определим hk, II (z) и Кп (со):
• [2] импульсная характеристика {hk} = (10, 5, 2); 2) системная функция H (z) = 10 + 5z~[ + 2z~2; 3) частотный коэффициент передачи найдем, записав в выражение (6.31) переменную z = е*ьШ