Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности

1. Пусть случайная величина X задана в виде равноотстоящих вариант х, и соответствующих им частот т, (табл. 9.4).

Таблица 9.4. Табличное задание вариант и частот_.

Требуется при заданном уровне значимости, а проверить нулевую гипотезу Но о принадлежности генеральной совокупности нормальному закону распределения. Проверку гипотезы Но проводят следующим образом. За наблюдаемое значение критерия случайной величины принимают критерий Пирсона.

где /и,⁰ = —(р (и,) — теоретические частоты; «-объем выборки; h- разность между двумя соседними вариантами; <�р (и,) — функция Л' — X

Гаусса (см. таблицу прил. 1); и, = ' ^в; х_в — выборочная средняя;

S — исправленное среднее квадратичное отклонение.

По выборке вычисляют х_в и S. Затем рассчитывают теоретические частоты /и,⁰. Наблюдаемое значение критерия К^_т вычисляют по формуле (9.6). По таблице прил. 10 при заданном уровне значимости, а и числу степеней свободы к =1−3, где / - число пар (х, т,), находят критическую точку /^"р. Если К^п то нулевая гипотеза о нормальном распределении принимается, а если К^_т > А^_рпр — отвергается.

Объем выборки должен быть достаточно велик (п > 50). Каждая пара (х"т,) должна содержать число частот /и, >5, а малочисленные пары следует объединять в несколько пар, пока данное условие не будет выполнено. При этом частозы т, и т° суммируются, а число I следует принять равным числу пар после объединения.

Пример 9.13. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости, а = 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности по результатам выборки объема п = 100 (табл. 9.5).

Таблица 9.5. Статистический ряд распределения частот.

Решение. Сформулируем гипотезы согласно условию примера. Но'. Случайная величина генеральной совокупности X распределена по нормальному закону.

Н Случайная величина X генеральной совокупности не распределена по нормальному закону.

Вычислим выборочную среднюю.

выборочную исправленную дисперсию.

исправленное среднее квадратичное отклонение.

Составим расчетную табл. 9.6, для этого:

• а) запишем числовые значения х, выборки в первую графу;
• б) используя параметры распределения (x_t, S), вычислим значения и, = (дг, -x_B)/S, которые поместим во вторую графу;
• в) найденные из таблицы прил. 1 значения ip (а,) поместим в третью графу;
• г) вычислим теоретические частоты по формуле т? = nhq (u,) / S, где и = 100 —объем выборки; h = 4 — ширина интервала;
• д) поместим эмпирические т, и теоретические частоты /и,⁰ в четвертые и пятые графы соответственно.

Таблица 9.6. Расчетная таблица эмпирических и теоретических частот.

Используя данные шестой графы табл. 9.6, найдем наблюдаемое значение критерия.

По таблице прил. 10 при уровне значимости а = 0,05 и по числу степеней свободы к=1-3 = 6- 3 = 3 находим критическую точку правосторонней критической области.

Наблюдаемое значение критерия меньше АГ~_{р |1р} (А^, =.

= 7,09 < 7,80 = Kl_v ,_ч,) и попадает в область принятия нулевой гипотезы Но (рис. 9.14, а). Поэтому при уровне значимости, а = 0,05 гипотезу о нормальном распределении случайной величины ^принимаем.

2. Пусть исследуемое распределение признака X задано в виде последовательности интервалов одинаковой длины (шага) и соответствующих им частот т, а значениями вариант являются средние значения х, для каждого /-го интервала (табл. 9.7).

Таблица 9.7. Статистический интервальный ряд распределения.

Требуется установить при заданном уровне значимости, а (доверительной вероятности у = 1-а) принадлежность статистической совокупности нормальному закону.

Подчеркнем, что объем исследуемой выборки должен быть достаточно велик (п > 50), а число интервалов не менее четырех. Малочисленные эмпирические частоты (т, < 5) рекомендуется объединить с соседним интервалом, при этом соответствующие им теоретические частоты ю,° также складываются, а число / следует принять равным числу интервалов после объединения.

Пример 9.14. При 54-кратном измерении радиуса эритроцита получили выборку, мкм: 3,70, 3,85, 3,7, 3,78, 3,60,4,45, 4,20, 3,87, 3,33, 3,76, 3,75, 4,03, 3,80, 4,75, 3,25, 4,10, 3,55, 3,35, 3,38, 3,05, 3,56,.

4,05, 3,24, 4,08, 3,58, 3,98, 3,40, 3,80, 3,06, 4,38, 3,10, 3,15, 3,25, 3,35, 3,45, 3,40, 3,60, 3,65, 3,70, 3,80, 3,80, 3,95, 4,05, 4,20, 4,15, 4,20, 4,30, 4,35, 4,50, 4,55, 4,65, 4,70, 4,75, 4,30. Проверить при уровне значимости, а = 0,05 справедливость гипотезы о нормальном распределении радиуса эритроцитов.

Решение. Сформулируем нулевую и конкурирующую гипотезы согласно условию примера.

Но: Радиус эритроцитов является случайной величиной X, подчиняющейся нормальному закону распределения.

Н Радиус эритроцитов является случайной величиной X, не подчиняющейся нормальному закону распределения Составим интервальный ряд распределения. Наименьший радиус эритроцита равен 3,05, а наибольший — 4,75. Примем значения границ а = х_тт = 3: Ь = х_11т =4,8. Число интервалов определим по формуле /V>l + 3,321g" = 6, а их шаг И = = (*max ^-*min)/N = (⁴-8 — 3,0) / 6 = 0,3. Рассчитаем центры равноотстоящих вариант по формуле х, =(х,+х,_л)/2 для каждого /'-го интервала. Найдем частоты пн, соответствующие каждому /-му интервалу. Результаты расчетов представлены в табл. 9.8.

Вычислим выборочную среднюю выборочную исправленную дисперсию.

Таблица 9.8. Статистический интервальный ряд распределения частот радиуса эритроцитов_____.

исправленное среднее квадратичное отклонение Рассчитаем теоретические частоты по формуле.

где и = 54; й = 0,30.

Результаты вычислений представим в виде табл. 9.9, где эмпирические частоты т, помещены в четвертую графу.

Таблица 9.9. Расчетная таблица эмпирических и теоретических частот.

По данным табл. 9.9 в последней графе путем суммирования находим наблюдаемое значение критерия.

По таблице прил. 10 при уровне значимости, а = 0,05 и числе степеней свободы к = 1- 3 = 6- 3= 3 найдем правостороннюю критическую границу

Так как К^_а = 5,48 < 7,80 = K²_{f [ф} [критическая точка «р попадает в область принятия Но (рис. 9.14, б)], то при заданном уровне значимости, а = 0,05 нулевая гипотеза Н₀ не противоречит опытным данным, т. е. значения радиуса эритроцитов распределены по нормальному закону.

Рис. 9.14. Область принятия и отклонения нулевой гипотезы.