Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими

Степенная функция и радикал.

Рассмотрим функцию.

где п есть натуральное число, большее единицы. Функция, обратная этой, есть

Функция w = zⁿ имеет производную, отличную от нуля во всякой конечной точке плоскости, кроме начала координат. Следовательно, во всякой такой точке сохраняются углы при отображении с помощью функции w = z^a.

Посмотрим, как ведёт себя наша функция в окрестности нулевой точки. Для этого введём полярные координаты:

после чего равенство (33) даст:

Из второго равенства (34) видно, что углы в нулевой точке не сохраняются, а увеличиваются в п раз. Консерватизм углов нарушается и в бесконечно удалённой точке плоскости z> потому что функция.

—— в окрестности z— 0 совпадает с данной функцией. Точки О.

" (т) и оо будут точками разветвления функции z=/w (гл. II, § 4, п. 10).

Особенность точек 0 и оо, а также название их точками разветвления будут ещё более ясными, если мы заметим, что каждой точке плоскости w, кроме этих двух, соответствуют п различных точек плоскости z. Из соотношений (34) видно, что окружности с центром в нулевой точке плоскости переменного z (r= const.) переходят на плоскости w тоже в окружности (р = const.); полупрямым, выходящим из нулевой точки (<�р = const.); буду! соответствовать тоже полупрямые (6 = const).

Фиг. 60.

Фиг. 59.

Возьмём на плоскости переменного z угол величины образуемый положительной действительной осью и полупрямой, выходящей.

г

из нулевой точки (фиг. 59). Этот угол O^cps^-^с помощью функции (33) отобразится на всю плоскость переменного w, разрезанную по положительной полуоси (фиг. 60). Действительно, при <�р = 0 угол.

0 = 0; при ср = — угол 0 = 2тг.

Рассмотрим теперь некоторые простейшие отображения, связанные с функцией w = zⁿ. Совершенно ясно, что эта функция даёт возмож.

Фиг. 61.

Фиг. 62.

ность отобразить угол величины, 0<:<�р^-^- (фиг. 61) на верхнюю полуплоскость (фиг. 62).

Зададимся задачей отобразить полукруг с центром в нулевой точке радиуса единица на верхнюю полуплоскость. Сначала отобразим отрезок от — 1 доJ-1 в положительную действительную полуось так.

чтобы точке — 1 соответствовала точка 0, а точке -{-1 точка оо. В качестве отображающей функции можно взять:

Легко видеть, что действительно такая функция удовлетворяет требуемым условиям, так как при изменении z от — 1 до 1 функция; w пробегает, возрастая, все значения от 0 до •.

Посмотрим, во что эта функция будет переводить полуокружность. Имеем:

Фиг. 64.

Когда точка z пробегает полуокружность от 1 до — 1, то <�р меняете" от 0 до тг, значит, w' будет изменяться по положительной мнимой полуоси. Заметим, что когда точка z описывает полуокружность в; положительном направлении (фиг. 63), то область полукруга остаётся слева.

Из предыдущих формул (35) и (36) нетрудно видеть, каково будет направ;

Фиг. 63.

ление соответствующего обхода на плоскости w'. На нашем чертеже (фиг. 64) оно обозначено стрелками. Так как отображённая область должна находиться также слева при обходе переменным w полуоси Ov‘ и полуоси Ои то отсюда заключаем, что наш полукруг с помощью функции (35) отобразится на координатный угол плоскости w¹. Для того, чтобы преобразовать полученный, координатный угол в верхнюю полуплоскость, нужно взять:

Итак, искомая функция напишется таким образом:

Как отобразить сектор с углом, равным, радиуса единица, на верхнюю полуплоскость? Очевидно, что функция w'—zⁿ будет переводить этот сектор в полукруг. Этот же последний с помощью ужезнакомой нам функции (37) мы можем отобразить на верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомая функция есть.

Как отобразить область, заключённую между двумя пересекающимися под углом окружностями на верхнюю полуплоскость? Обозначая через а и b вершины данного двуугольника (фиг. 65), берём линейную функцию.

Фиг. 65.

Эта функция переведёт точку, а в точку 0, а точку ^ в оо. Следовательно, одну окружность линейная функция (39) переведёт в один луч, выходящий из нулевой точки, другую окружность в другой луч, составляющий с первым угол ^, так как функция (39) в точке а

имеет производную, отличную от нуля. Остаётся отобразить угол, ограниченный двумя только что упомянутыми лучами, на полуплоскость. Это же мы умеем делать. Итак, искомая функция имеет вид: