Введение. 
Гетероскедостичность и методы борьбы с ней

Гетероскедастичность (англ. Heterosсedasticity) — понятие, применяемое в практический статистике (чаще только — в эконометрике), означающее неоднородность наблюдений, выражающуюся в неодинаковой (непостоянной) дисперсии случайной ошибки регрессионной (эконометрической) модели. Гетероскедастичность противоположна гомоскедастичности, означающей равномерность наблюдений, то есть постоянство дисперсии случайных ошибок модели.

Наличие гетероскедастичности случайных ошибок приводит к неэффективности оценок, приобретенных с поддержкой метода наименьших квадратов. Кроме того, в этом случае оказывается смещённой и несостоятельной классическая оценка ковариационной матрицы МНК-оценок характеристик. Следовательно статистические выводы о качестве приобретенных оценок могут быть неадекватными. В связи с этим тестирование моделей на гетероскедастичность является одной из нужных процедур при построении регрессионных моделей.

Устранение гетероскедастичности

Существует множество способов устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии. Рассмотрим некоторые из них.

Наиболее обычным способом устранения гетероскедастичности остатков модели регрессии является взвешивание характеристик модели регрессии. В этом случае единичным наблюдениям независимой переменой, характеризующимся наибольшим среднеквадратическим отклонением случайной ошибки, придаётся больший вес, а остальным наблюдениям с наименьшим среднеквадратическим отклонением случайной ошибки придаётся меньший вес. После предоставленной процедуры качество эффективности оценок неизвестных коэффициентов модели регрессии сохраняется.

Если для устранения гетероскедастичности был применен способ взвешивания, то в итоге мы получим взвешенную модель регрессии с весами.

Предположим, что на базе имеющихся данных была построена линейная модель парной регрессии, в которой было подтверждено присутствие гетероскедастичности остатков.

Рассмотрим подробнее процесс взвешивания для предоставленной модели регрессии.

Разделим любой член модели регрессии на среднеквадратическое отклонение случайной ошибки g (? I):

В общем виде процесс взвешивания для линейной модели парной регрессии выглядит последующим образом:

Для наиболее наглядного представления приобретенной модели регрессии воспользуемся способом замен:

В итоге получится преобразованный вид взвешенной модели регрессии:

Преобразованная взвешенная модель регрессии является двухфакторной моделью регрессии.

Дисперсию случайной ошибки взвешенной модели регрессии разрешено рассчитать по формуле:

Полученный итог обосновывает постоянство дисперсий случайных ошибок преобразованной модели регрессии, т. е. о исполнении условия гомоскедастичности. Главный недочет метода взвешивания содержится в необходимости априорного познания среднеквадратических отклонений случайных ошибок модели регрессии. По той причине, что в большинстве случаев предоставленная размер является неизвестной, приходится применять остальные способы, в частности способы устранения гетероскедастичности. Определение. Суть способов устранения гетероскедастичности состоит в определении оценки ковариационной матрицы случайных ошибок модели регрессии:

Для определения оценок.

употребляется метод Бреуше-Пайана, который реализуется в несколько шагов:

1) после получения оценок неизвестных коэффициентов модели регрессии рассчитывают остатки ei и показатель суммы квадратов остатков.

2) рассчитывают оценку дисперсии остатков модели регрессии по формуле: гетероскедастичность модель устранение ковариационный.

3) сооружают взвешенную модель регрессия, где весами являются оценка дисперсии остатков модели регрессии.

4) если при проверке гипотез взвешенная модель регрессии является незначимой, то разрешено сделать вывод, что оценки матрицы ковариаций? являются неточными.

Если вычислены оценки дисперсий остатков модели регрессии, то в этом случае разрешено применять доступный обобщённый или взвешенный способы наименьших квадратов для вычисления оценок коэффициентов модели регрессии, которые различаются лишь оценкой.

Если гетероскедастичность остатков не поддаётся корректировке, то разрешено рассчитать оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии с поддержкой классического способа наименьших квадратов, но затем подвергнуть корректировке ковариационную матрицу оценок коэффициентов.

т.к. ограничение гетероскедастичности приводит к увеличению предоставленной матрицы. Ковариационная матрица оценок коэффициентов.

может быть скорректирована способом Уайта:

где n — количество наблюдений;

X — матрица независимых переменных;

• -квадрат остатков модели регрессии;
• -транспонированная i-тая строчка матрицы данных Х.

Корректировка ковариационной матрицы оценок коэффициентов способом Уайта приводит к изменению t-статистики и доверительных промежутков для коэффициентов регрессии.