Волновое уравнение и его решения

Запишем систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме (25.19) в отсутствие электрических зарядов и токов:

Эта система допускает существование электромагнитного поля в виде электромагнитной волны. Покажем это. Сначала вычислим ротор от обеих частей третьего уравнения Максвелла:

Из математики известно, что где оператор Лапласа V² дается выражением Из первого уравнения Максвелла следует, что.

Подставив все это в формулу (25.37), с учетом четвертого уравнения Максвелла получим.

Такое уравнение называется волновым, и оно может описывать плоскую бегущую волну, распространяющуюся в произвольном направлении в трехмерном пространстве и похожую на рассмотренную в механике упругую волну в упругой среде:

Здесь v — фазовая скорость волны; s — смещение от положения равновесия частиц упругой среды. Сравнение последних уравнений позволяет сразу определить фазовую скорость волны:

Можно показать, что решение волнового уравнения для плоской волны в трехмерном пространстве имеет вид.

причем.

Заметим, что фазовая скорость определяется лишь скоростью перемещения косинусоиды (25.44). Можно показать, что скорость переноса энергии и информации волной определяется групповой скоростью, которая равна.

Подчеркнем, что каждая из компонент вектора? описывается волновым уравнением (25.41).

В одномерном случае волновое уравнение (25.42) сводится к виду.

Несложно убедиться, что решением его является выражение.

Это решение представляет собой волну, бегущую вдоль оси х.

Заметим, что фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме равна скорости света с. Поэтому из формулы для фазовой скорости (25.43) следует связь трех физических констант.

Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме (25.36) в отсутствие электрических зарядов и токов симметрична относительно электрического и магнитного полей. Поэтому очевидно, что вычисление ротора от обеих частей четвертого уравнения Максвелла и последующие преобразования дадут для магнитного поля уравнение, аналогичное (25.41):

Оно имеет следующее решение по аналогии с решением (25.44):

Оказывается, что и магнитное поле волны имеет волновой характер, причем фазовая скорость волны магнитного поля совпадает с фазовой скоростью волны электрического ноля. Если исследовать решения уравнений непосредственно, то окапывается, что плоские волны электрического и магнитного полей специальным образом ориентированы друг относительно друга, имеют одинаковую начальную фазу колебаний и согласованные между собой амплитуды. Частоты и волновые векторы у этих волн тоже одинаковы. Электромагнитные волны поперечны: векторы? иЯ лежат в плоскости, перпендикулярной вектору скорости распространения волны. При этом векторы? и Я взаимно перпендикулярны. Из уравнений Максвелла следует, что электрическое и магнитное поля в любой момент времени в любой точке связаны соотношением.

Вычислим теперь интенсивность электромагнитной волны 1_К — усредненную за период энергию, переносимую волной в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Эту важную энергетическую характеристику волны можно получить с учетом формул (25.34) и (25.48) усреднением модуля вектора Умова — Пойнтинга:

Здесь используется то, что среднее значение квадрата косинуса по периоду равно ½. Амплитуду волны Л₀ характеризуют амплитудами напряженности как электрического (?₀), так и магнитного (Я₀) полей. При этом амплитуды напряженности электрического и магнитного полей в соответствии с формулой (25.52) линейно связаны друг с другом. Отсюда следует вывод, что энергетическая характеристика волны пропорциональна квадрату амплитуды волны: