Основные эквивалентности в силлогистике (законы силлогистики)

Выделим три класса законов, важных для нас в контексте наших задач по упрощению формул силлогистики. То, что нижеприведенные формулы действительно являются законами силлогистики, мы оставляем доказать нашим читателям в качестве разминочного задания.

1. Так называемые правила диагоналей логического квадрата. Они позволяют избавляться (или, если надо, наоборот, вводить) от внешних пропозициональных отрицаний, пронося их внутрь формулы. При этом образуются такие «связочные нары»: а — о, е — i.

2. Так называемые правила превращения. Они позволяют избавляться (или, если надо, вводить) от терминного отрицания над предикатом высказывания. При этом тоже образуются свои «связочные пары»: а — е, о — i.

3. И третий класс образуют вспомогательные правила обращения. Они помогают перенести негативный термин из субъекта в предикат (чтобы потом применить одно из правил превращения). Но «работают эти правила» (в качестве эквивалентных преобразований) только для высказываний типа е и i.

(S и Р могут быть любыми, в том числе и негативными терминами). С высказываниями (формулами) типа а ситуация следующая. Из формулы SaP логически следует формула PiS, но обратное неверно. Поэтому в формуле PiS содержится строго меньше информации, чем в формуле SaP. Следовательно, эквивалентная замена этих формул одной на другую невозможна. Возможна лишь замена формулы SaP на формулу PiS с оговоркой «формула ослаблена». А из формулы типа SoP вообще не следует ни одна формула с предикатом S (Докажите!).

Приведем пример «комплексного упрощения». Возьмем высказывание «Неверно, что некоторые недобрые люди не являются некрасивыми» и подберем для него максимально упрощенное эквивалентное ему. Пусть «добрые люди» — S, «красивые люди» — Р. Тогда «недобрые люди» будет обозначено как ~ S, «некрасивые люди» как ~ Р, а логическая форма всего высказывания будет тогда выглядеть какi (^5о ~Р). Осуществим цепочку эквивалентных преобразований:

— 1 (~S о ~Р) = -1 (~ SiP) [превращение] = -i (Pi ~S) [обращение] = -i (PoS) [превращение] = PaS [правило диагонали логического квадрата].

Вот и выяснилось, что вместо «Неверно, что некоторые недобрые люди не являются некрасивыми» можно сказать гораздо проще — «Все красивые люди добрые». (Напомним, что здесь совершенно не идет речи об истинностном статусе высказываний.).

Выполните упражнения 2—3 из Практикума.