Уравнение теплопроводности. 
Механика сплошной среды: теория напряжений и основные модели

Уравнением теплопроводности называют такую форму уравнения энергии, которая разрешена относительно температуры и определяет перенос тепла в системе. Ранее было установлено термодинамическое тождество для внутренней энергии как функции ее естественных переменных: pdU = aijdsij + рТ ds. Так как энтропия является полным дифференциалом, то, записывая ее приращение в зависимости от переменных ?ij, Т:

мы можем, подставив дифференциал энтропии в соотношение для внутренней энергии, представить дифференциал внутренней энергии в переменных ?ij, Т как.

Так как внутренняя энергия U является полным дифференциалом, то должно выполняться соотношение.

Правая часть этого соотношения равна нулю, так как правое выражение в квадратных скобках не зависит от переменной ?ij . Таким образом получаем связь между производными от напряжений по температуре с производными от внутренней энергии по компонентам тензора относительных деформаций:

Подставив сюда полученное ранее представление напряжений через деформации сг^ = Cijki? ki — 0ijO, получим.

С другой стороны, рассматривая внутреннюю энергию как функцию переменных деформация температура U (?ij.T), запишем ее полный дифференциал:

Коэффициент при дифференциале температуры.

называют удельной теплоемкостью при постоянной деформации. Эта величина является теплофизической характеристикой материала, эквивалентной удельной теплоемкости газа при постоянном объеме.

Сравнивая коэффициенты при дифференциалах температуры в представлениях внутренней энергии вида (5.21) и (5.22), получим.

В силу этого дифференциальное соотношение для энтропии можно записать как

Будем считать, что естественному состоянию рассматриваемого тела соответствует нулевое значение энтропии и в нем отсутствуют деформации, а тепературное поле однородно: Т = Т₀. Проинтегрировав (5.23) от естественного состояния, получим.

Это нелинейное выражение может быть линеаризовано при условии, что в/Т₀ 1. В этом случае можно использовать разложение логарифма 1п (1 + х) «х. Тогда соотношение для энтропии будет иметь вид.

Отсюда можно получить несколько интересных вспомогательных соотношений. Подставим в (5.24) выражение для деформации из (5.20) €ij = Sijkicrki+aijQ и учитывая, что fyjSijki = оси, получим выражение для энтропии:

или, проводя группировку членов,.

Полученное выражение представляет удельную теплоемкость при постоянном напряжении. Эта характеристика играет роль, аналогичную теплоемкости при постоянном давлении в газовых системах.

Получим теперь уравнение теплопроводности. Воспользуемся соотношением, представляющим комбинацию первого и второго зако- _Tds .

dt

нов термодинамики: pi — = — qi^+iu, и подставим сюда выражение для энтропии:

Для малых отклонений температуры можно положить Т ~ То. Тогда уравнение теплопроводности примет окончательную для этой модели форму:

Левая часть этого уравнения определяет скорость изменения количества тепла в единичном объеме, первый член правой части —поступление тепла в контрольный объем за счет теплопроводности, а третий — мощность объемного тепловыделения, обусловленного внешними причинами. Особую роль играет второй член правой части, который определяет вклад в общий баланс тепла, обусловленный сопряжением полей температуры и деформации. Он называется членом связности.

Приведем систему соотношений, определяющую задачу термоупругости в дифференциальной форме:

Напомним, что по повторяющемуся индексу осуществляется суммирование в одночленных выражениях, а запятая перед индексом означает дифференцирование по координате с соответствующим индексом.

Первое соотношение этой системы представляет три уравнения движения, определяющие ускорение материальной частицы сплошной среды под действием внутренних (напряжения) и внешних (объемных) сил.

Второе соотношение — это уравнение теплопроводности, записанное в форме, отвечающей малым отклонениям температуры от температуры стандартного состояния.

Третье соотношение определяет связь напряженного и деформированного состояний и влияние на нее температурного поля среды. Эти соотношения являются обобщением закона Гука на анизотропные среды с анизотропией свойств теплового расширения. Для симметрического тензора напряжений это шесть независимых соотношений, определяющих его компоненты.

Последнее индексное соотношение представляет систему геометрических связей относительных деформаций с дифференциальными характеристиками поля вектора перемещения материальной частицы. Здесь они представлены в линейной форме Коши без учета квадратичных членов, что отвечает случаю малых относительных деформаций. Здесь мы имеем также шесть независимых дифференциальных связей.

Таким образом, приведенная система (5.26) представляет совокупность 16 дифференциальных и алгебраических уравнений относительно 16 неизвестных функций: трех компонентов вектора перемещений щ, отклонения температурного поля от базового состояния.

в = Т — То, шести компонентов симметрического тензора напряжений (Jij и шести компонентов симметрического тензора деформаций.

?ij .

Для замыкания этой системы должны быть заданы шесть компонентов симметрического тензора теплопроводности kij, плотность материала среды в се исходном (стандартном) состоянии р, шесть компонентов симметрического тензора теплового расширения, компоненты тензора 4-го ранга изотермической упругости Qjki > количество независимых компонентов которого (по условиям симметрии этого тензора) равно 21 константе, и удельная теплоемкость вещества сплошной среды при постоянной деформации с_е. Таким образом, для рассматриваемой точки сплошной среды должны быть заданы 35 дополнительных числовых характеристик (констант или функций температуры). Изотропия среды или симметрия ее свойств существенно снижают число констант.