Сопряжённые отрезки и плоскости

Меридиональное сечение и точка В в этом сечении (см. рис. 2.1) выбраны произвольно. Поэтому каждая точка отрезка АВ, перпендикулярного оси, отображается в точку отрезка А’В'. В целом точки предметной плоскости, перпендикулярной оси, сопряжены с точками плоскости изображения, тоже перпендикулярной оси.

Рассмотрим две точки А и В в меридиональной плоскости (рис. 2.4). Точки А и А' сопряжены, т. е. любой падающий луч через А после преломления пройдёт через А'. Точки В и В' также сопряжены. Луч, содержащий отрезок АВ, преломится в луч с отрезком А’В'. Таким образом, любая прямая в меридиональной плоскости отображается в прямую.

Рис. 2.4.

Можно, наконец, показать, что в параксиальной области не только любая прямая в пространстве предметов отображается в прямую, но и любая плоскость стигматически сопряжена с плоскостью. Оптическая система, осуществляющая стигматическое изображение плоскостей, называется идеальной.

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца

Определим связь сопряжённых отрезков и углов между сопряжёнными лучами (см. рис. 2.1). Луч из точки В через центр кривизны поверхности С пройдёт без преломления до точки изображения В'. Из подобия треугольников АВС и А’В’С следует.

Выражая а' через а по (2.7) и учитывая h = (-а)(-я) = а V, получаем из (2.8) теорему Лагранжа-Гельмгольца.

показывающую, что существует обратная зависимость между размером изображения и плоским углом в меридиональном сечении гомоцентрического пучка, формирующего изображение точки: чем больше размер изображения, тем уже световые пучки. Величина пуа называется инвариантом Лагранжа-Гельмгольца. Этот инвариант связан с законом сохранения световой энергии (см. разд. 6).